UTBM 2006 MT25 médian

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MT25 Printemps 2006Examen médian du 28 avril 2006Durée : 2 heure(s)On rendra une copie (au moins et même blanche) pour chacun des deux exercices.Une feuille A4 recto de rappels de cours et une calculatrice autorisées.On pourra admettre chaque résultat et passer à la suite.Exercice 1 (Cycloïde). Soient a et λ deux réels strictement positifs.On considère un cercle de centre Ω,derayona se déplaçant «sans glisser». Soit un point M fixedececercle et un point N défini par−−→ −−→ΩN = λΩM. (1)N(t)M(t)Ωtj0 IiFig. 1. Le cercle définissant la cycloïde et les points M et N.Initialement, à t=0,lepointΩapourcoordonnées(0,a) et M est l’origine. Puis, pour tout t≥ 0,le cercle s’est déplacé vers la droite de telle sorte que −−→ −→t = ΩM,ΩI , (2)où I est le point de contact entre le cercle et l’axe des x. Voir figure 1.1/52/5(1) Montrer en écrivant l’égalité de la longueur de l’arc de cercle IM et la distance OI,quelescoordonnées (x (t),y (t)) de N vérifientλ λx (t)=a(t− λsin t), (3a)λy (t)=a(1− λ cos t). (3b)λ(2) On s’intéresse à la courbe décrite par N(t) quand t décrit R.(a) Montrer que l’on peut se réduire à l’intervalle [0,π].(b) Calculer les dérivées de x et de y .λ λ(c) (i) On suppose tout d’abord que λ∈]0,1[. Dresser le tableau de variation de x et y .λ λ(ii) On suppose maintenant que λ ∈]1,+∞[. On introduit l’unique réel θ ∈]0,1[ tel0que1cos θ = . (4)0λMontrer que l’on a t− θ t + θ0 0x (t)=2aλsin sin , (5)λ2 2et en ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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MT25
Durée : 2 heure(s)
Examen médian du 28 avril 2006
Printemps 2006
On rendra une copie (au moins et même blanche) pour chacun des deux exercices.
Une feuille A4 recto de rappels de cours et une calculatrice autorisées.
On pourra admettre chaque résultat et passer à la suite.
Exercice 1(Cycloïde).Soientaetλdeux réels strictement positifs. On considère un cercle de centreΩ, de rayonase déplaçant «sans glisser». Soit un pointMfixe de ce cercle et un pointNdéfini par ΩN=λΩM .(1)
N(t) M(t) Ω t j 0I i
Fig. 1.Le cercle définissant la cycloïde et les pointsMetN.
Initialement, àt= 0, le pointΩa pour coordonnées(0, a)etMest l’origine. Puis, pour toutt0, le cercle s’est déplacé vers la droite de telle sorte que   −−→−→ t= ΩM ,ΩI ,(2)
Iest le point de contact entre le cercle et l’axe desx. Voir figure 1. 1/5
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(1) Montrer en écrivant l’égalité de la longueur de l’arc de cercleIMet la distanceOI, que les coordonnées(xλ(t), yλ(t))deNvérifient xλ(t) =a(tλsint),(3a) yλ(t) =a(1λcost).(3b) (2) Ons’intéresse à la courbe décrite parN(t)quandtdécritR. (a) Montrerque l’on peut se réduire à l’intervalle[0, π]. (b) Calculerles dérivées dexλet deyλ. (c) (i)On suppose tout d’abord queλ]0,1[. Dresser le tableau de variation dexλetyλ. (ii) On suppose maintenant queλ]1,+[. On introduit l’unique réelθ0]0,1[tel que 1 cosθ0=.(4) λ Montrer que l’on a    tθ0t+θ0 x(t) = 2sin sin,(5) λ 2 2 et en déduire le tableau de variation dexλetyλ. (iii) Onsuppose enfin queλ= 1. Dresser sommairement le tableau de variation dexλ etyλ. (d) (i)Tracer soigneusement les trois courbesFλpourt[π,3π]pour les valeurs sui vantes   13 7 a= 1, λ1., ,(6) 10 10 13 (ii) Queremarquezvous dans le cas oùλ=? 10 (3) Onse replace dans le casaquelconque etλ >1. (a) Montrerque , x(t)<0ety(t)<0,(7a) t]0, θ0[λ λ 2], x(t)>0ety(t)>0.(7b) t]θ0, π/λ λ (b) Quelleest la valeur maximale de|x|sur[0, θ0]? λ (4) En imaginant un système mécanique (existant!) qui se trouve dans la configuration de la figure 1 page précédente, quelle conséquences (étranges!) peuton tirer des résultats de la question 3? Dans ce même système mécanique, existetil d’autres points qui possèdent cette étrange propriété ?
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y
Ω
C
x DO (a) :Une trajectoire formée d’un segment de droite Det d’un arc de cercleC. y
Ω
C
A j i x DO C (b) :Une trajectoire formée d’un segment de droite D, d’un arc de courbeCet d’un arc de cercleC.
Fig. 2.Deux types de trajectoires.
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Exercice 2(Clothoïde). On considère un point matérielM(t)évoluant dans le plan, paramétré par le temps   F(t) =x(t), y(t).(8) (1) Justifiersommairement les formules suivantes : v=vT ,(9a) ds v=,(9b) dt 2 dv v   γ=T+N ,(9c) dt R     sest l’abscisse curviligne,vetγdésignent la vitesse et l’accélération etM(t), T , Nest le repère de Frenet au pontM(t). (2) On suppose pour toute la suite que la vitesse scalairevest constante. On suppose que la trajectoire étudiée est celle du centre de gravité d’une véhicule (voiture ou un train, par exemple) en mouvement et l’on s’intéresse à un point matériel immobile dans cette voiture. (a) Supposonsque le véhicule étudié, roulant à vitesse constante, décrive la trajectoire de la figure 2(a), formée d’un segment de droiteDet d’un arc de cercleC, de centreΩ.
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Que peuton dire de l’accélération subie par le pointM(t)au passage enO? (b) Onadmet de plus que : – sile véhicule est une voiture, l’angle de braquage des roues avant (et donc du volant) est proportionnel à la courburec= 1/R;de la courbe – unpassager, proche du centre de gravité de la voiture et immobile dans cette voiture, subira une accélération proportionnelle àγ. Dans ce cas, quels sont les inconvénients de la trajectoire de la figure 2(a) page précé dente ? (3) Pourpalier cet inconvénient, on intercale maintenant une courbeCentre le segment de droite Det l’arc de cercleC, comme l’indique la figure 2(b) page précédente. L’origineOcoïncide avec la fin de la partie linéaire, le pointAcoïncide avec le début de la partie circulaire. On cherche une courbeCcontinue enOetA, dont le vecteurTsoit continu enOetAet dont la courburecsoit continue enOetA. (a) Quevalent les courbures enOet enA? (b) On paramètre la courbe inconnueCpar son abscisse curvilignes, prise nulle enO. On cherche alors une courbeCdont la courburecsoit portionnelle à l’abscisse curvilignes, 2 c’estàdire, il existe une constante, notée2/kk >0telle qu’en tout de pointC, on ait 2 c(s) =s.(10) 2 k Montrer alors que les inconvénients constatés en question 2b disparaissent! (c) Commedans le cours, on introduit l’angle entre le vecteuriet le vecteur unitaire tangent T:     φ=i, T[2π].(11) SoitsAl’abscisse curviligne du pointA. Montrer que pour la courbeC: φ(0) = 0,(12a) 2 s s[0, sA], φ(s) =.(12b) 2 k (d) Montreralors que    s2s/k   u 2 s[0, sA], x(s) =cosdu=kcosw dw,(13a) 2 k 0 0    s2s/k   u 2 y(ssin) =du=ksinw dw.(13b) 2 k 0 0 et calculer le vecteurTen fonction deset dek. (e) Vérifierque le paramétrage est normal. (f )question facultative Réciproquement, sixetysont définis par (13), montrer que (10) a bien lieu, que la tangente à la courbe en l’origine est horizontale et que la courbure est nulle en l’origine.
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(4) (a)Si l’on veut que la courbeC«raccorde» le cercleC, que doiton imposer enA? (b) Concluresur la courbeC, appelée clothoïde. (c) Montrer que l’ensemble de la trajectoire (formée du segment de droiteD, de l’arc de 2 3 courbeCet de l’arc de cercleC) est de classeC. Estelle de classeC? (5) Ondonne quelques valeurs numériques des fonctions définies par s   2 sR, fx(s) =cosw dw,(14a) 0 s   2 fy(s) =sinw dw,(14b) 0 dans le tableau 1.
s 0 0.11111 0.22222 0.33333 0.44444 0.55555 0.66666 0.77777 0.88888 1 Tab. 1.
fx(s)fy(s) 0 0 14 1.11109×10 4.57242×10 13 2.22168×10 3.65734×10 12 3.32922×10 1.23347×10 12 4.42713×10 2.91823×10 12 5.50286×10 5.67681×10 12 6.53617×10 9.73806×10 11 7.49793×10 1.52783×10 11 8.34976×10 2.23876×10 11 9.04524×10 3.10268×10 Quelques valeurs defxet defy.
Tracer la courbe pourk= 1. On tracera pour plusieurs valeurs des, sur la même figure :   – lepointM(s) =x(s), y(s); – levecteurT; – lecercle osculateur; On tracera aussi le cercleC.
Corrigé Un corrigé sera disponible surhttp://utbmjb.chezalice.fr/
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