UTBM 2007 mt25 applications de l'algebre et de l'analyse a la geometrie tronc commun semestre 2 partiel

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MT25 Printemps 2007Examen médian du 13 avril 2007Durée : 2 heure(s)Une feuille A4 recto de rappels de cours et une calculatrice autorisées.On rédigera les ...

Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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MT25
Durée : 2 heure(s)
Examen médian du 13 avril 2007
Une feuille A4 recto de rappels de cours et une calculatrice autorisées.
Printemps 2007
On rédigera les exercices 1 et 2 sur une copie (ou plus) et l’exercice 3 sur une autre.
Exercice 1.Soit la courbe paramétrique du plan définie par 2 t x(t) =,(1a) 2 (t1) (2t1) 3 t y(t) =.(1b) 2 (t1) (2t1) (1) Étudier les variations dexetyet dresser leur tableau de variation.Pour cette question, 3 on admettra quela fonction polynômialet→t+t1n’admet qu’une seule racine réelle α0.6823278038280193. (2) Déterminerla tangente ent= 0et la nature du pointt= 0. (3) Déterminerles branches infinies et la position de la courbe par rapport à ces branches. (4) Déterminer la tangente à la courbe ent=±∞et la position de la courbe par rapport à sa tangente ent=±∞ (5) Tracerla courbe. Exercice 2.Soit la courbe définie en polaire par   2 r(θ) = sinθ .(2) 3 (1) Montrerque l’on peut étudier la courbe pourθ[0,3π/4]. (2) Dresserle tableau de variation dersur[0,3π/4]. (3) Définirles tangentes à la courbe aux points particuliers. (4)Question facultativeDéterminer les points doubles. (5) Tracerla courbe.
1/2
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Exercice 3.SoitLl’arc de lemniscate défini en polaire par θ[π/4, π/4], r(θcos(2) =θ).(3) (1) Montrer,avec les notations usuelles, que θ]π/4, π/4[, T=sin(2θ)uθ+ cos(2θ)vθ,(4)   et en déduire l’angleV(θ) =uθ, T.      (2) Endéduire l’angle entre le vecteur de baseiet le vecteur unitaire tangentT,φ=i, T. (3) Endéduire la courbure et l’expression des coordonnées du centre de courbure.
Corrigé Un corrigé sera disponible surhttp://utbmjb.chezalice.fr/
UTBM Printemps2007
UV MT25 : examen médian du 13 avril 2007
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