UTBM analyse numerique elementaire 2006 gm mt40 genie mecanique et conception semestre 1 final

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Utbm mt40 Examenfinal Automne2006Nb: On rédigera les exercices sur des feuilles séparées.Exercice1 Intégration gaussienneOnconsidèrelesintégrales I et I définiespar:1 2 1 1sin(x) cos(x)I = √ dx et I = √ dx.1 22 21−x 1−x−1 −11.1 Démontrerque I et I existentetpeuventêtrecalculéesparméthodegaussienne. Laquelle?1 21.2 Onchoisit,pourcettequestion,d’utiliseruneméthoded’intégrationgaussienneàtroispoints.a) Déterminerlesupportd’intégration {x ,x ,x }. Quereprésentecesupport,géométriquement?0 1 2b) Valeurs approchées de I et I1 2Fournirunevaleurapprochée V de I etunevaleurapprochée V de I .1 1 2 2c) Erreur de méthode• Montrerquelavaleurapprochée V estexacte.1Cettepropriétéde I segénéraliserait-elleavecunplusgrandnombredepointsdesupport?1• Fournirunemajorationdelavaleurabsoluedel’erreurdeméthodecommisedansl’évaluationdeI .2Endéduireunintervallecontenantcertainement I .21.3 Fournirunetablequi,enfonctiondel’entiernaturelnélémentde{1,...,5},fournitunmajorantde|E |,noù E désignel’erreurdeméthodecommiseenintégrationgaussienneà npoints,dansl’évaluationdenI .2Nb: Ons’attacheraàtrouverunerelationliantlesmajorantsde|E |et|E |,envued’uneinformatisationn n+1éventuelledutraitementdecettequestion.Exercice2 Equations non linéairesSoit Aunréelélémentde I = ]1,+∞[. Onconsidèrel’équation (E) : f(x) = 0,où f estdéfiniepar2f(x) =x −A.L’objetdel’exerciceestdedéterminerunevaleurapprochéedelasolutionpositivede(E)parl’intermédiaired’uneéquation”approchée”.2.1 Existence et ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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Utbm mt40Examen final Nb: Onrédigera les exercices sur des feuilles séparées.
Automne 2006
Exercice 1Intégration gaussienne On considère les intégralesI1etI2définies par:   1 1 sin(x) cos(x) I1=dxetI2=dx. 2 2 11x11x 1.1Démontrer queI1etI2existent et peuvent être calculées par méthode gaussienne.Laquelle? 1.2On choisit, pour cette question, d’utiliser une méthode d’intégration gaussienne à trois points. a)Déterminer le support d’intégration{x0, x1, x2}. Quereprésente ce support, géométriquement? b)Valeurs approchées deI1etI2 Fournir une valeur approchéeV1deI1et une valeur approchéeV2deI2. c)Erreur de méthode Montrer que la valeur approchéeV1est exacte. Cette propriété deI1se généraliserait-elle avec un plus grand nombre de points de support? Fournir une majoration de la valeur absolue de l’erreur de méthode commise dans l’évaluation de I2. En déduire un intervalle contenant certainementI2. 1.3Fournir une table qui, en fonction de l’entier naturelnélément de{1, ...,5}, fournit un majorant de|En|, Endésigne l’erreur de méthode commise en intégration gaussienne ànpoints, dans l’évaluation de I2. Nb: Ons’attachera à trouver une relation liant les majorants de|En|et|En+1|, en vue d’une informatisation éventuelle du traitement de cette question.
Exercice 2Equations non linéaires SoitAun réel élément deI= ]1,+[considère l’équation. On(E) :f(x) = 0, oùfest définie par 2 f(x) =xA. L’objet de l’exercice est de déterminer une valeur approchée de la solution positive de(E)par l’intermédiaire d’une équation ”approchée”.
2.1Existence et unicité de solution surI
EtudierfsurIet montrer que(E)admet une solution unique, notéel, dansI. Tracer la courbe représentative(C)defdans un repère du plan.
2.2Equation approchée de(E)
Soitα, βdeux éléments donnés, distincts ou non, deI.
a)Déterminer le polynômep1qui interpolefsur le support{α, β}.
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b)On définit l’équation approchée(Eαβ)de(E), relative au support{α, β}, par : (Eαβ) :p1(x) = 0.
b1)Montrer que siα=β,(Eαβ)s’écrit: 2 (Eαβ) :αA+ (β+α) (xα) = 0.
Résoudre l’équation(Eαβ). b2)Montrer que siα=β,(Eαβ)s’écrit: 2 (Eαβ) :αA+ 2α(xα) = 0.
Nb: Onrappelle que dans ce casf[α, α] =f(α).
Résoudre l’équation(Eαβ).
2.3Deux cas particuliers importants
a)Soitx0etx1deux éléments distincts deI.
Soitn= 1; on poseα=xnetβ=xn1note. Onlala solution de(Eαβ)trouvée en 2.2b1). Fournir l’expression delaen fonction dexnetxn1. Que représente géométriquementlapar rapport à la corde(MnMn1), oùMnetMn1désignent les points de la courbe(C)d’abscisses respectivesxetx? n n1 On définit alorsxn+1par:xn+1=la. Soit alorsn= 2; on itère le processus décrit ci-dessus, puis on fait de même pour toutn. Montrer qu’on définit ainsi la suite des itérés de Lagrange relatifs à l’équation(E).
b)Soitx0un élément deI. Soitn= 0; on poseα=xnetβ=xnnote. Onlala solution de(Eαβ)trouvée en 2.2b2.). Fournir l’expression delaen fonction dexn. Que représente géométriquementlapar rapport à la tangente enMnà la courbe représentative (C)def, oùMndésigne le point de(C)d’abscissexndéduire que? Enlaest dansI. et vérifielal. On définit alorsxn+1par:xn+1=la. Soit alorsn= 1; on itère le processus décrit ci-dessus et de même, pour toutn. Montrer qu’on définit ainsi la suite des itérés de Newton relatifs à l’équation(E). c)En déduire que les itérations de Lagrange et de Newton sont des cas particuliers d’un même processus. 2.4Vitesse de convergence t tOn considère désormais la suite(xn), initialisée parx0[resp{x0, x1}], définie pourndeN[respN]par :xn+1=lalaest solution de(Eαβ) :p1(x) =O, sachant quep1interpolefsur le support t {α, β}égal à{xn, xn}[resp{xn, xn1}]. On pose pour toutndeN:en=lxn. a)En utilisant l’expression de l’erreur de méthode en interpolation polynômiale, montrer que: f[α, β, l] en+1=(lα)(lβ) f[α, β]
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b)En déduire, sachant queζdésigne un réel deI: n qu’en méthode de Newton(vu{α, β}={xn, xn})on a: 1212 en+1=(en) =(en). f(ζ) 2xn n qu’en méthode de Lagrange(vu{α, β}={xn, xn1})on a: 1 1 en+1=enen1=enen1 f(ζ) 2ζ n n
c)Performances comparées des méthodes de Newton et Lagrange On suppose avoir établi que la suite(xn)converge versl. Montrer que la convergence en méthode de Newton est quadratique. 1+ 5 Montrer qu’en méthode de Lagrange la convergence est d’ordreϕ=, le nombre d’or. 2   k |en+1| |en| Indication: oncherchera des réelspetktels que :p=cnp. |en| |en1|
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