UTBM analyse numerique elementaire 2007 gm mt40 genie mecanique et conception semestre 1 partiel

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Utbm mt40 Examen médian Automne 2007Nb: On rédigera les exercices sur des feuilles séparées. On pourra admettre tout résultatintermédiaire afin de poursuivre la résolution d’un exercice.Exercice 1L’objet del’exercice est d’utiliserl’interpolationpolynômialeà desfins de dérivationapprochée. L’étudeest menée ici dans un cas très particulier, dont plusieurs aspects peuvent être généralisés. Chebyschev aobtenudanscedomainedesrésultatsremarquables!Soit f une fonction polynôme quelconque de degré 3, définie sur un intervalle [a,b] deR avec a < b. Onconsidère un réel t quelconque de ]a,b[.1.1 Interpolationsurlesupport {a,b,t}(a) Déterminationdupolynômeinterpolateur• Déterminer la fonction polynôme p qui interpole f sur {a,b,t} sans expliciter le calcul des dif-2férences divisées intervenantes.• Exemple3 2On donne f par f(x) =x +x +x+1, a =−1, b = 1 et t = 0. Trouver p .2Nb: Ces données numériques seront réutilisées seulement dans la question 1.1(e) pour illustrerl’étude générale.(b) On considère la fonction erreur d’interpolation e, définie sur [a,b] par :e(x) = f(x)−p (x).2• Montrer que e est une fonction polynôme de degré 3, dont le coefficient dominant est celui de f.Il sera noté désormais α.• Montrer que e s’annule pour x = a, x =b et x = t.• En déduire l’écriture de e(x), pour tout x de [a,b].(c) Montrer que l’expression de l’erreur d’interpolation permet d’écrire :′ ′ ′∀x∈ [a,b] f (x) = p (x)+e (x).2(d) Déduire de l’expresssion de e(x) obtenue en fin de ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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Utbm mt40Examen médianAutomne 2007 Nb: Onrédigera les exercices sur des feuilles séparées. On pourra admettre tout résultat intermédiaire afin de poursuivre la résolution d’un exercice.
Exercice 1 L’objet de l’exercice est d’utiliser l’interpolation polynômiale à des fins de dérivation approchée. L’étude est menée ici dans un cas très particulier, dont plusieurs aspects peuvent être généralisés. Chebyschev a obtenu dans ce domaine des résultats remarquables ! Soitfune fonction polynôme quelconque de degré3, définie sur un intervalle[a, b]deRaveca < b. On considère un réeltquelconque de]a, b[. 1.1Interpolation sur le support{a, b, t} (a)Détermination du polynôme interpolateur Déterminer la fonction polynômep2qui interpolefsur{a, b, t}sans expliciter le calcul des dif-férences divisées intervenantes. Exemple 3 2 On donnefparf(x) =x+x+x+ 1,a=1,b= 1ett= 0. Trouverp2. Nb: Cesdonnées numériques seront réutilisées seulement dans la question 1.1(e) pour illustrer l’étude générale. (b)On considère la fonction erreur d’interpolatione, définie sur[a, b]par : e(x) =f(x)p2(x). Montrer queeest une fonction polynôme de degré3, dont le coefficient dominant est celui def. Il sera noté désormaisα. Montrer quees’annule pourx=a,x=betx=t. En déduire l’écriture dee(x), pour toutxde[a, b]. (c)Montrer que l’expression de l’erreur d’interpolation permet d’écrire : ′ ′ ′ x[a, b]f(x) =p(x) +e(x). 2 (d)Déduire de l’expresssion dee(x)obtenue en fin de question 1.1(b) que : e(t) =α(ta) (tb).
(e)Exemple ′ ′ ′Déterminerf(x),p(x), e(x)ete(t)pour les données numériques fournies dans l’exemple du 1.1(a). 2 1.2Utilisation pour la dérivation approchée Soitxun réel quelconque de[a, b]. (a)Quelle valeur approchée def(x)peut-on choisir ?Argumenter brièvement.Où rencontre-t-on la même idée sous mt40 ?. (b)On adopte la démarche retenue en (a) et on s’intéresse àE(t), valeur absolue de l’erreur de méthode ′ ′ commise en remplaçantf(t)parp(t). 2 Comment choisirtdans]a, b[pour queE(t)soit maximale ? Interpréter le résultat obtenu. .../...
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Exercice 2 L’objet de l’exercice est l’étude de quelques aspects de l’interpolation polynômiale conduisant à la produc-tion de logiciels de décomposition automatique en éléments simples. SoitndeNdonné. On considère, pour tout l’exercice, une famille{x0, ..., xn}den+ 1points distincts deR. 2.1SoitN, comme numérateur..., une fonction dePn, espace des fonctions polynômes de degré au plusn. On donneNpar: i∈ {0, ..., n}N(xi) =yi. Montrer, sans calculs, queN=pn, oùpndésigne le polynôme interpolateur deNsur le support{x0, ..., xn}. 2.2Outils techniques On considère la famille(li)des polynômes de Lagrange associés au support{x0, ..., xn}; on définit 0in Dpar: n D(x) =(xxj). j=0
(a)Pour toutide{0, ..., n}, montrer que: n D(xi) =(xixj). j= 0 j=i Nb: Onutilisera le nombre dérivé d’un produit den+ 1fonctions, généralisation du résultat suivant: ′ ′ ′ (x)u+u(x)u(x)u(x (u1u2u3) (x) =2(x)3 u1 2(x)u3(x)1 2 3) +u1(x)u u(x). (b)En déduire : D(x) i∈ {0, ..., n} ∀xR− {x0, ..., xn}li(x) = (xxi)D(xi) 2.3On notepnle polynôme, étudié sous 2.1, qui interpoleNen{x0, ..., xn}. Montrer qu’on peut écrire n pn(x)αi i∈ {0, ..., n} ∀xR− {x ,..., x}= 0n D(x) (xxi) i=0 On fournira , pour toutide{0, ..., n},αien fonction deyi=N(xi)et deD(xi). 2.4Intégration des résultats antérieurs On considère une fonction fraction rationnelle, notéeR, définie par : N(x) xR− {x0, ..., xn}R(x) =navecNPn. (xxj) j=0 (a)Utiliser la théorie antérieure pour fournir la décomposition deR(x)en éléments simples; on décrira, brièvement mais soigneusement, le plan de la méthode, en particulier les calculs intermédiaires néces-saires. (b)Applicationen éléments simples la fraction rationnelle: DécomposerRdonnée par : x+ 1 R(x) =. (x1) (x2) (x3) (c)Proposer brièvement une critique de la méthode suggérée. Quels types de fractions rationnelles, permet-elle et ne permet-elle pas de décomposer en éléments simples ?Idées de généralisation?
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