UTBM analyse numerique et simulation 2006 gesc mn42 genie electrique et systemes de commande semestre 1 final

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MN42 : ANALYSE NUMERIQUE ET UTBM - GESCSIMULATION Semestre d’Automne 2006(18/01/07)Examen Final(dur´ee: 2 heures)Exercice 1Soitf unefonctiond´efinieparunnuagede(n+1)points(x ,f(x )), (x ,f(x )), ... (x ,f(x )).0 0 1 1 n nOn cherche a` d´eterminer le polynˆome P (x), de ...

Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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MN42 :ANALYSE NUMERIQUE ETUTBM - GESC SIMULATIONSemestre d’Automne 2006 (18/01/07) Examen Final (dur´ee:2heures) Exercice 1 Soitfnuungadeeinperae(ofenu´dnoitcnn+1) points (x0, f(x0)),(x1, f(x1)). ., .(xn, f(xn)). Oncherche`ade´terminerlepolynˆomePn(xe´rgeded,)n, d’interpolation def(x) qui passe par cespointsenutilisantlam´ethodedeNewton. 1. Ecrirel’expression du coefficientanhsulpedegr´autdedePn(xlee´a,ppreneid´.eeidec)´siv 2.Donnerlarelationdere´curenceentrelepolynnˆomePn(xemo)ˆenylopeltPn1(xer´eged)d (n1) passant par lesnQuelle est la valeur depremiers points.P0(x). 3.Montrerpourlecasdetroispointsquelonalarelationsuivanteentrelesdie´rences divis´ees: f[x1, x2]f[x0, x1] f[x0, x1, x2] =. x2x0 4.Application:Construirelatabledesdi´erencesdivis´ees,puisd´eterminerlepolynˆome d’interpolation d’une fonctionfsuivl´eeaudant:dse´nnodbatelsnarlpaientsinpoes i0 1 23 xi3-2 -1 1 f(xi) 91 18 -2 186 Exercice 2 Soitf0e[llvaretnilruseunitnvie´peerime`eroccontinueetded´erenucnofnoit,rlou.P1]ntaoie´rgitn defsur [0,onsi,onc1]:readquturaumroedelre`dfale Z 1 0 f(x)dx=A1.f(0) +A2.f(0) +A3.f(α) (1) 0 0 o`uflad´eriveste`erede´peerimf,α]0,1[ etA1, A2, A3es.eellesr´snoctnatnossedt 1. CalculerA1, A2, A3etαa)tiellpsurgnaddegr´edelemuorafelquurpo1(noitarge´tnid pr´ecisionpossible. 2. Sinnorticispeuouo´vormurlaf),cale(1lrelucldruerreraegt´inontielestgrdede´e´epr n+1 pourf(x) =x. 3.Parunchangementdevariableconvenable,construirea`partirdelaformuledinte´gration (1),unedeuxie`meformulepourcalculersurunintervalle[a, b] quelconque Z b f(x)dx a 4.Enutilisantcettedeuxi`emeformule,calculerunevaleurapproche´epour Z 10 x exp()dx. 05 Calculerlavaleurexactedecetteinte´gralepuisdonnerlerreurabsoluecommise. 5.Onutilisemaintenantlame´thodedeSimpsoncompos´eepourcalculercetteinte´grale,pour cela on divise l’intervalle [0,10] enngeuadxlenouguerteinussos´lealrvhest la. Quelle valeur minimale deniuqnndoneeureerduretenuleobacel`elage´uoerueiref´inontiraegt´in en 4)
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Exercice 3 Soitleprobl`emedeCauchy: ( 02 3 y(x) =xy+ 4x+ 2x[0,1] y(0) =y0= 2 queloncherchea`re´soudrenume´riquementenutilisantlalgorithmedeRunge-Kuttadordre4, en prenant un pash= 0,1. 1.De´terminerlasolutionexacteyex(xneitleelnoid´ree´equati)decettsrueceeralsvcaetullc yex(xi) pourxi=ih, i= 1,2,3. 2.EcrireetappliquerlalgorithmedeRunge-Kuttadordre4pourde´terminerlesvaleurs approche´esyi=y(xi) pourxi=ih, i= 1,2,3. 3. Calculerl’erreur relative commise pour chacun de ces trois pas.
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