UTBM analyse numerique et splines 2006 gi mt44 genie informatique semestre 2 final

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MT44 Printemps 2006Examen final du 28 juin 2008Durée : deux heure(s)Tout document autorisé - Calculatrice autorisée.On rédigera les deux exercices sur deux copies différentes. On pourra admettre toutrésultat intermédiaire afin de poursuivre la résolution d’un exercice.Exercice 1 (Formules de quadrature et méthode de Gauss).∗Soient n∈N , a et b deux réels deR =R∪{+∞}∪{−∞},telsquea
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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MT44
Durée : deux heure(s)
Examen final du 28 juin 2008
Tout document autorisé  Calculatrice autorisée.
Printemps 2006
On rédigera les deux exercices sur deux copies différentes. On pourra admettre tout résultat intermédiaire afin de poursuivre la résolution d’un exercice.
Exercice 1(Formules de quadrature et méthode de Gauss). SoientnN,aetbdeux réels deR=R∪ {+∞} ∪ {−∞}, tels quea < b,rune fonction continue sur(a, b)etwune fonction positive sur(a, b). On posef=rwet on suppose quefest intégrable sur (a, b). Dans cet exercice, on étudie la formule de quadrature n b r(x)w(x)dxWir(xi),(1) a i=0 (xi)s sontn+1réels deux à deux distincts de(a, b)et(Wi)s sontn+1réels quelconques. 0in0in (1) Justifiersommairement pourquoi la formule de quadrature (1) est d’ordrepN(c’estàdire exacte pour tous les polynômes de degrés inférieur ou égal àp) si et seulement si : n b j j j∈ {0, ..., p}, xw(x)dx=Wix .(2) i a i=0 (2) Pourquoi(2) est équivalent à     1 1...1W0I0 x0x1.... xnW1I1 2 22 x x ....x I 0 1nW2=2,(3)         . . .. . p pp x x ....xnWnIp 0 1 b j j∈ {0, ..., p}, Ij=x w(x)dx?(4) a
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(3) Pourtoute la suite, on fera l’hypothèse que p= 2n+ 1.(5) De combien d’équations disposeton? (4) Pourtoute la suite, on fera l’hypothèse que x a= 0, b= +, w(x) =e .(6) (a) CalculerI0etI1défini par (4). (b) Quedevient (3) sin= 0etp= 1? (c) Endéduire les valeurs dex0et deW0sin= 0. (5) (a)Montrer que les(Ij)définis par (4) vérifient p1, Ip=pIp1,(7a) I0= 1.(7b) (b) Endéduire que p0, Ip=p!(8) (6) Danstoute cette question, on supposera que n= 1, p= 3.(9) (a) Montrerque (3) est équivalent à    1 1W01 =,(10a) x0x1W11    2 2 x xW02 0 1 =.(10b) 3 3 x xW16 0 1   1 1 (b) Calculerl’inverse de la matriceet en déduire que x0x1 x0x1+x0+x1= 2, .(11) 2 2 x x(x+x+x x 0 10x1) +x0+11 0= 6. (c) Onposes=x0+x1etp=x0x1. Calculersetpgrâce à (11) et en déduire quex0etx1 sont solutions de 2 x4x+ 2 = 0.(12) (d) Endéduire finalement les valeurs dex0et dex1, puis deW0et deW1. (7) Peutongénéraliser les calculs des questions 4c et 6 pournquelconque ? Commentorganiseriez vous les calculs? (8) (a)Déterminer les premiers polynômes de LaguerreL0,L1etL2. (b) Endéduire les pointsxides formules de GaussLaguerre pourn= 0etn= 1; comparez avec les résultats des questions 4c et 6 et commentez!
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Exercice 2(Courbes de Bézier).   Le planPest rapporté au repère orthonormé directO, i, j. Soitaun réel positif. (1)Approche géométrique de l’étude d’une Bézier On donne les points de contrôle P0(0,0) ;P1(0, a) ;P2(a,0) ;P3(0,0). On notea)la courbe de Bézier de points de contrôle(P0, P1, P2, P3). On rappelle que pour touttde[0,1], pourietkvérifiant0ik3, les polynômes de Bernstein vérifient : k k1k1 B(t) =tB(t) + (1t)B(t). i ii+1 (a) En déduire la construction géométrique du pointB(t= 1/2)de la courbe cubiquea) considérée, de paramètret= 1/2, obtenu comme barycentre de barycentres successifs des points(P0, P1, P2, P3)dotés des poids convenables, correspondant à la valeur det considérée. (b) Combiencoûte la détermination deB(t= 1/2), en nombre de calculs de barycentres de deux points? (2)Etude de la courbe de Béziera). (a) Déterminer la courbe de Béziera), de points de contrôle(P0, P1, P2, P3), oùa)est considéré comme l’ensemble des pointsB(t)de coordonnées(x(t), y(t)). (b) Etudierla fonctiont[0,1]→(x(t), y(t))pouraquelconque. (c) Onfixe pour cette seule sousquestiona= 4. Fournir une allure de la courbe représentative 4).
(3)Utilisation de la courbea) La courbe étudiée précédemment est en fait utilisée dans un problème de chaudronnerie industrielle, dans lequel on doit déterminer l’aire de la boucle de courbe obtenue à la question 2 à des fins d’évaluation d’échanges gazeux. Conventions et notations On suppose disposer, pouradonné, d’un vecteurTde valeurs réelles detcomprises entre 0et1à pashconstant, des vecteurs de coordonnées associées(X, Y)des pointsB(t)de la courbea)antérieure. Ainsi de façon préciseXetYcomportentNcolonnes (N >1) et l’on a : 1 i∈ {1, ..., N}t= (i1)hetB(t)est de coordonnées(X(i), Y(i))sachant queh=. N1 Pour un vecteurVdeNcolonnes, on notedV=dif f(V)le vecteur deN1colonnes, défini par : i∈ {1, ..., N1}dV(i) =V(i+ 1)V(i). Pour un vecteurVde tailleN, on noteVi,jle sousvecteur extrait deV, constitué des valeurs deVd’indices compris entreietj, pour1ijN.
(a) Si levecteurTest à pas constanth, les vecteursXetYsontils en général à pas constant ?
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(b) Quereprésente le vecteurdXgéométriquement ? t (c) Montrerque le produit matricieldX(Y1,N1)fournit une valeur approchée par méthode des rectangles de l’aire interne à la boucle de la courbea). Que peuton dire du produit t matricieldX(Y2,N)? (d) Enthéorie des courbes paramétriques, un théorème établit que l’aireAinterne à la boucle dea)est donnée par : 1 A=(ydxxdy). 2 Γa Justifier ce résultat.
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