UTBM analyse numerique et splines 2006 gi mt44 genie informatique semestre 2 partiel

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MT44 Printemps 2006Examen médian du 3 mai 2006Durée : deux heure(s)Tout document autorisé - Calculatrice autorisée.On rédigera les deux exercices sur deux copies différentes. On pourra admettre toutrésultat intermédiaire afin de poursuivre la résolution d’un exercice.Exercice 1 (De l’interpolation polynômiale aux splines).On considère une fonction f définie et dérivable sur un intervalle [A,B] deR.(1) Étude sur une partie [x ,x ] de [A,B]0 1On considère les réels x et x tels que x
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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MT44
Durée : deux heure(s)
Examen médian du 3 mai 2006
Tout document autorisé  Calculatrice autorisée.
Printemps 2006
On rédigera les deux exercices sur deux copies différentes. On pourra admettre tout résultat intermédiaire afin de poursuivre la résolution d’un exercice.
Exercice 1(De l’interpolation polynômiale aux splines). On considère une fonctionfdéfinie et dérivable sur un intervalle[A, B]deR. (1)Étude sur une partie[x0, x1]de[A, B] On considère les réelsx0etx1tels quex0< x1et[x0, x1][A, B]. On note    y=f(x);y=f(x);y= y0=f(x0);11 10 0f(x1). Soitl0etl1les polynômes de Lagrange relatifs au support{x0, x1}. (a) Rappelerl’expression del0(x)etl1(x)pour toutxde[A, B]. (b) Rappeler,sans calculs inutiles, les valeurs de : l0(x0);l1(x1);l0(x1);l1(x0). (c) Pourtoutide{0,1}, on pose :   2 2 b(x1) =2l(x) (xx) [l(x)]etb(x) = (xx) [l(x)]. i ii ii2+ii i (i) Montrerque pour toutjde{0, ...,3}, lesbjsont des fonctions polynômes de degré 3. pour toutjde{0, ...,3}, les nombres d(x)en fo (ii) Calculerérivésbjnction desli(x). 2 (iii) Montrerque les fonctionsbjvérifient, pour tout(i, k)de{0,1}: bi(xk) =iketb2+i(xk) = 0 ;   b(x) = 0etb(x) =i k2+iki k, sachant queikdésigne le symbole de Kronecker. (iv) Montrerque les{bj}forment base deP3, espace vectoriel surRdes fonctions 0j3 polynômes de degré au plus3. 1/4
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(d) Onconsidère la fonctionpdeP3définie par :   p(x) =y0b0(x) +y1b+y b2(x) +y 1(x)0b3(x). 1 (i) Montrerque pour toutide{0,1}on a :   p(xi) =yietp(xi) =y. i (ii) Endéduire quepest le polynôme d’interpolation defsur le support{x0, x0, x1, x1}. (iii) Quelest son intérêt géométrique? (e)Application On donnef(x) = sin(x), avecx0= 0etx1=π/2. (i) Déterminerle polynômepcorrespondant défini cidessus. (ii) Etudier sur[x0, x1]puis représenter graphiquement dans le même repère les fonc tionspetf. On fournira en particulier les tangentes aux extrémités de l’intervalle. (2)Généralisation On considère une suite(xi)de réels vérifiantx0=A < x1< ... < xn=B. 0in Comme dans la question 1 précédente, on détermine pour toutide{0, ..., n1}, la fonction polynôme notéepidéfinie sur[xi, xi+1]qui interpolefsur le support{xi, xi, xi+1, xi+1}. (a) Quelest l’intérêt géométrique de la fonction polynôme par morceaux,Pdéfinie par : x[A, B] [(x[xi, xi+1])(P(x) =pi(x))]? (b) Enutilisant la théorie développée cidessus, fournir un plan de détermination informatique deP, à partir de la suite(xi)et de la donnée des(f(xi))et(f(xi)). 0in0in0in
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Exercice 2(Intégration numérique). Soient les intégrales B   2 IA,B= cosw dw,(1a) A B   2 JA,B= sinw dw.(1b) A Le but de cet exercice est d’approcher numériquement ces deux intégrales en utilisant la méthode de Simpson. (1) Ondéfinit les fonctionscetsdeRdansRpar   2 wR, c(w) = cosw ,(2a)   2 s(w) = sinw .(2b) (a) Calculerles quatre premières dérivées decet deset montrer que (4) wR,c(w)g(w),(3a) (4) s(w)g(w),(3b) où la fonctiongest définie par 2 4 wR, g(w) = 12 + 48w+ 16w .(3c) (b) Justifierpourquoi la fonctionsgest croissante surR+et décroissante surR. (c) Pourtout la suite, on suppose que les bornesAetBd’intégration vérifient 0A < B1.(4) Montrer que (4) w[A, B],c(w)76,(5a) (4) s(w)76.(5b) S S (2) Pourtout entierN, on poseh= (BA)/N. On considèreEetFles erreurs d’intégrations N N respectives pour le calcul des intégralesIA,BetJA,Bpar la méthode d’intégration (composée) de Simpson àN+ 1points. Montrer que 19 S4 E(BA)h ,(6a) N 720 19 S4 F(BA)h .(6b) N 720 En déduire le nombreNmingarantissant une erreur d’intégration inférieure àε >0pour les deux intégralesIA,BetJA,B:     1/4 19 5/4 Nmin=E(BA1) +.(7) 720ε
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(3)Applications numérique 4 On donneA= 0,B= 1etε= 10. Quelles sont les approximations numériques deIA,B etJA,B? (4)Question facultative SoitPun entier non nul. On poseτ= 1/Pet, pour toutj∈ {0, ..., P},Yj=. Dans cette question, on souhaite déterminer des approximations deI0,YjetJ0,Yjpourj∈ {0, ..., P}. (a) Montrerque I0,Y0= 0,(8a) J0,Y0= 0,(8b) j1 I=I ,Yk+,(8c) j∈ {1, ..., P},0,YjYk 1 k=0 j1 j∈ {1, ..., P}, J0,Y=JY ,Y.(8d) j kk+1 k=0 (b) Onnoteeetfles erreurs d’intégration commises pour les calculs respectifs deIet P,j P,j0,Yj 8) et où chaque intégraleIetJest approchée J0,Yjen utilisant les formules (Yk,Yk+1Yk,Yk+1 numériquement par la méthode de Simpson àN+ 1point sur l’intervalle[Yk, Yk+1]. Montrer que 19 4 j∈ {0, ..., P},|eP,j| ≤h ,(9a) 720 19 4 |fP,j| ≤h .(9b) 720 En déduire le nombreNmingarantissant une erreur d’intégration inférieure àε >0pour les deux intégralesI0,YjetJ0,Yj, pour toutj∈ {0, ..., P}:     1/4 19 Nmin=E+ 1.(10) 720ε
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