UTBM analyse numerique et splines 2007 gi mt44 genie informatique semestre 2 partiel

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MT44 Printemps 2007Examen médian du 20 avril 2007Durée : deux heure(s)Tout document autorisé - Calculatrice autorisée.On pourra admettre tout résultat intermédiaire afin de poursuivre la résolution d’unexercice.Exercice 1 (Interpolation).xSoit f la fonction définie sur [−1,1] par f(x)=e . 1 1(1) Interpolation sur le support S = −1,− , ,113 3 1 1(a) Déterminer la fonction polynôme p qui interpole f sur −1,− , ,1 .3,13 3(b) Rappeler l’expression de l’erreur d’interpolation e (x)=f(x)− p (x), pour tout x de1 3,1[−1,1], fournie en cours.(c) Montrer que : 2 e 12 2∀x∈ [−1,1] |e (x)|≤M (x)= x −1 x − .1 124 3 π π π π(2) Interpolation sur le support S = cos ,cos 3 ,cos 5 ,cos 728 8 8 8(a) Représenter graphiquement les supports S et S . Qu’est-ce qui les différencie dans leur1 2manière de partitionner [−1,1] ?(b) Sans déterminer la fonction polynôme p qui interpole f sur S , rappeler l’expression de3,2 2l’erreur d’interpolation e (x)=f(x)− p (x), pour tout x de [−1,1], fournie en cours.2 3,2(c) Montrer que : e2 2 2 2∀x∈ [−1,1] |e (x)|≤M (x)= x − α x − β ,2 224 π πoù α et β sont définis par : α=cos et β=cos 3 .8 8(3) Comparaison des majorants M et M1 2(a) Etudier les variations de M et M sur [−1,1].1 21/42/4(b) Interprétez les résultats obtenus ; le cours laissait-il attendre ces résultats ?Exercice 2 (Intégration numérique).kSoient k un entier naturel non nul et f de classe C sur ...
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MT44
Durée : deux heure(s)
Examen médian du 20 avril 2007
Tout document autorisé - Calculatrice autorisée.
Printemps 2007
On pourra admettre tout résultat intermédiaire afin de poursuivre la résolution d’un exercice.
Exercice 1(Interpolation). x Soitfla fonction définie sur[1,1]parf(x) =e.   1 1 (1)Interpolation sur le supportS1=1,, ,1 3 3   1 1 (a) Déterminerla fonction polynômep3,1qui interpolefsur1,, ,1. 3 3 (b) Rappeler l’expression de l’erreur d’interpolatione1(x) =f(x)p3,1(x), pour toutxde [1,1], fournie en cours. (c) Montrerque :     2   e1 2 2 x[1,1]|e1(x)| ≤M1(x) =x1x. 24 3      π π π π (2)Interpolation sur le supportS2= cos,cos 3,cos 5,cos 7 8 8 8 8 (a) Représenter graphiquement les supportsS1etS2. Qu’est-ce qui les différencie dans leur manière de partitionner[1,1]? (b) Sansdéterminer la fonction polynômep3,2qui interpolefsurS2, rappeler l’expression de l’erreur d’interpolatione2(x) =f(x)p3,2(x), pour toutxde[1,1], fournie en cours. (c) Montrerque :    e 2 22 2 x[1,1]|e2(x)| ≤M2(x) =xα xβ, 24    π π αetβsont définis par :α= cosetβ= cos3. 8 8 (3)Comparaison des majorantsM1etM2 (a) Etudierles variations deM1etM2sur[1,1]. 1/4
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(b) Interprétezles résultats obtenus; le cours laissait-il attendre ces résultats? Exercice 2(Intégration numérique). k Soientkun entier naturel non nul etfde classeCsur l’intervalle[a, b]. Pour tout cet exercice, on pose h=ba.(1) On suppose que l’on connaît une formule d’intégration élémentaire defsur[a, b]sous la forme b f(x)dx=I(a, b, f) +E(a, b, f),(2) a I(a, b, f)est la valeur approchée de l’intégrale etE(a, b, f)l’erreur commise. On supposera de plus k l’erreur vérifie : il existe une constanteαtelle que pour toute fonctionfde classeC, on a : k+1 (k) E(a, b, f) =αh f(ξ)ξ[a, b].(3) (1) Rappeler les expressions deI(a, b, f)etE(a, b, f)(sous la forme (3)) pour les méthodes élé-mentaires du trapèze et de Simpson. (2) Danscette question, on cherche à trouver une méthode d’intégration élémentaire plus précise que la méthode (2). Soit a+b m=,(4) 2 k (a) Montrerque, pour toute fonctionfde classeCsur[a, b], on a m α k+1 (k) f(x)dx=I(a, m, f) +h f(ξ1),ξ1[a, m],(5) k+1 2 a et b α k+1 (k) f(x)dx=I(m, b, f) +h f(ξ2),ξ2[m, b].(6) k+1 2 m (b) Endéduire que, si on choisitCvérifiant k C=2,(7) k+1 alors, il existe un réelβtel que, pour toute fonctionfde classeCsur[a, b], on ait : b   f(x)dx=I(a, b, f) +E(a, b, f),(8) a     1 I(a, b, f) =I(a, b, f) +C I(a, m, f) +I(m, b, f),(9) 1 +C et k+2 (k+1) E(a, b, f)βhsupf(x).(10) x[a,b] On fera une combinaison linéaire des équations (2), (5) et (6) et on écrira (k)k k+1 f(ξ) =f(a) + (ξa)f(η)ξ[a, b], (k)k k+1 f(ξ1) =f(a) + (ξ1a)f(η1)η1[a, b], (k)k k+1 f(ξ2) =f(a) + (ξ2a)f(η2)η2[a, b].
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b (c) Nousavons donc une nouvelle approximation defdéfinie par (8) et (9). Cette nouvelle a approximation est définie à partir de l’approximationI(a, b, f). Que représente la nouvelle expressionE(a, b, f)et quel est l’avantage de (10) par rapport à (3)? (3) (a)En reprenant les résultats de la question 1, montrer que, si on part de la méthode du trapèze, alors on a :    h a+b k= 2etI(a, b, f) =f(a) + 4f+f(b),(11) 6 2 et que, si on part de la méthode de Simpson, alors on a :       h hh3h k= 4etI(a, b, f7) =f(a) + 32f a12+ +f a32+ +f a7+ +f(b).(12) 90 42 4
(b) Quereconnaissez-vous dans la méthode (11)? La majoration (10) est-elle alors cohérente avec celle vue en cours? (4)Question facultative Soit la méthode de quadrature élémentaire suivante : n b f(x)dx=Wif(xi) +En(a, b, f),(13) a i=0 (Wi)sontn+ 1réels,(xi)sontn+ 1réels deux à deux distincts de[a, b]et 0in0in En(a, b, f)est l’erreur commise. Nous disons ici qu’une méthode élémentaire de quadrature du type(13)est dite d’ordremsi elle est exacte (c’estàdire siEn(a, b, f) = 0) pour tout polynôme de degré au plusm.
(a) Pourquoila méthode (12) est elle une méthode de quadrature du type (13)? (b)A priori, quel est l’ordre de cette méthode? 1 (c) Montrerque la méthode (12) est d’ordre 5. Pour cela, on pourra supposer, pour simplifier quea=1et queb= 1. Pour montrer que l’erreur est nulle pour un polynôme de degré 5 5, on montrera qu’il suffit d’étudier l’erreur commise pourx→xet on raisonnera par symétrie, sans faire aucun calcul. (d) Queltype de majoration similaire à (10)(aveck= 4?) peut on supputer (e) Onpose, pour tout couple de réelA < Bet pour tout entier non nulN, BA x0=A;xN=B;i∈ {0, ..., N}, xi=A+ih,h=.(14) N
1 En fait, on peut montrer que les calculs fait sont équivalents.
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Montrer que la méthode composée sur l’intervalle[A, B]associée à la méthode élémentaire (12) s’écrit : N1 B   h f(x)dxk1f(A) +f(B) +k2f(xi) 90 A i=1 N1 N1 N1   h3h h +k3f xi+ +k4f xi+ +k5f xi+,(15) 4 4 2 i=0i=0i=0 k1,k2,k3,k4etk5, sont des réels à déterminer.
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