UTBM bases d algebre et d analyse 2005 tc

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le 24 Janvier 2006UTBMMT11Final Automne 2005Calculatrices interdites. Le seul document autoris´e est une feuille A4recto-verso r´edig´ee `a la mainChaque exercice doit ˆetre r´edig´e sur une feuillediff´erenteIl sera tenu compte dans la correction ...

Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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le 24 Janvier 2006 UTBM MT11
Final Automne 2005
Calculatricesinterdites.Leseuldocumentautoriseestune feuille A4 recto-versoredigeealamain
Chaqueexercicedoitˆetreredigesurunefeuille dierente
Ilseratenucomptedanslacorrectiondelapresentationetdelaredactioncorrectedes demonstrations.
Exercice 1(Applications directes du cours) - 4 points Danscetexercice,aucunequestionnenecessiteplusdequelqueslignespour eˆtreresolue 1) Retrouver,rˆgriveendeladeentioicaeladaede,elviredax. 2)muorafaleacrˆGnisntsesemorsiascceled, montrer que
x[0,+[,sin(x)x.
3)Soientdeuxsuitesreelles(un)net(vn)naveclimn+un= 0. Que peut-on dire de la convergence de(un.vn)n? Donner un exemple pour chaque situation possible. 2 43 2 4)DetermineraetbdansRtels queX+ 2diviseX+X+aX+bX+ 2.
Exercice 2(NOUVELLE FEUILLE) - 4 points Apresavoirrappelerunedesmethodesquipermetdobtenirledeveloppementlimitede ln(1 +t)en0tessuivantes:reteenimselrimild, 1 sin(x) 2 2)L1= limx0( ), x x 2 1 3)L2= limx+(xx .ln(1 +)). x
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Exercice 3(NOUVELLE FEUILLE) - 6 points Soit la fraction rationnelle 3 2 2X+ 2X+ 4X+ 3 F(x) = 4 2 X+ 3X+ 2 quelonchercheaintegrer. 4 2 i) FactoriserP(X) =X+ 3X+ 2dansR[X]elbi.sepnloynˆomesirreduct ii)DecomposerenelementssimplesF(X)dansR(X). iii) Donner toutes les primitives deF(X)ensnruoss.nneioitblemeded
Exercice 4(NOUVELLE FEUILLE) - 6 points
Encasdeprobleme,onadmettraleresultatpourpasseralaquestionsuivante
Soit la fonction π π f: ],0[]0,[−→R 2 2 arctan(x) 1 x7→32 (sin(x))x 1 1) Montrer quefcrnoituntienepeutseprolongerpa0en posantf(0) =. Justier. 6 3 2)Montrerqueledeveloppementlimitede(sin(x))en0errdoal8est 1 13 3 35 78 (sin(x)) =xx+x+x ²1(x)) 2 120 aveclimx0²1(x) = 0. 3 x 3)Endeduireledeveloppementlimiteen0eordral5de3et montrer que (sin(x)) 2 1 1x17 4 5 =.(1 ++x+x ²2(x)) 3 3 (sin(x))x2 120 aveclimx0²2(x) = 0.
QUESTIONS SUPPLEMENTAIRES(4 points) 4)Endeduirequeledeveloppementlimiteen0laerodr2defest arctan(x1 7) 1 2 2 = +x+x ²3(x)) 3 2 (sin(x))x6 40 aveclimx0²3(x) = 0. 5)Endeduirelapositiondelacourbedefaasoptrrrpaapenentetang0.
RAPPELS : 3 5 x x -ledeveloppementlimiteen0rerdoal5dearctan(x)estarctan(x) =x+ + 3 5 5 x ²1(x)aveclimx0²1(x) = 0. 3 5 7 x x x7 -ledeveloppementlimiteen0drerlao8desin(x)estsin(x) =x++x ²2(x) 3! 5! 7! aveclimx0²2(x) = 0.
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