UTBM bases d algebre et d analyse 2007 tc

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.oissanteLApageemaraa-t-onvrilleUTBM?,Lduréeuntempsa-t-onheurespMÉDIANc.MÉDIANleLeaarprationéau,cisionrationnelsetExercicelaouclartéUnedeverslaementrpéédactionementser).ontquationprisesencenuncouvezomptetoutdansoùl'attributionoupde?la,note.?L[eetbgentear?èmets]estdiverdonnétoutàctitroissanteesuiteindic.atif.nonUnediverfeuilcleSoitA(équationPrinRmanuscritequeest:autorisésoiteépaisonnementourfairl'éprsous-ensembleeuvevousainsi.queples1.cdealculatricunesdeetquetrRéelsaduc-Siteurs.rExercice(Calcul1b.(ApplicationsoindirectesJustier.dua-t-oncours)c.1.1QuestionsversdeTOURNEZcoursb.:suiteRoinép[ondrgentee.auxest-elquestionsnésuivantesessairpcrar?VRAIUneouourFCalculerAcrUX.etLmajoreserge-t-elépnéonsesessairVRAIversser2.ont2.justiédanses)pésoudrarsurunel'édémonstrsuivanteationqueretrlese,rcurrépronsespFrAeUX3.pearsoitlapdonné:e(indicd'un,courontrCalculere-exemple.SoitUne.ralorsépsionseest-ilnonsous-grjustiéeeannenedansrleapp4.orteetaucuna.peloint.appa.OnUnematriciel)suite2MTJustier.GESiAts]Ppcretoissante?est-el,le,néSicJustier.essair?ementdiverLe16 2007 24(u ) +∞n(u ) +∞n(u ) +∞nC C72z +(3+i)z+ +i=0.42 2 2 2 2H ={(x,y)∈R ,x +y =1} R (R ,+)x y∈Q xy∈Qx∈R−Q y∈Q ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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. oissante LA page emar a a-t-on vril le UTBM ? , L durée un temps a-t-on heures p MÉDIAN c. MÉDIAN le L e a ar pr ation é au, cision rationnels et Exercice la ou clarté Une de vers la ement r p é é daction ement ser ). ont quation prises enc en un c ouvez ompte tout dans où l'attribution oup de ? la , note. ? L [ e et b gente ar ? ème ts] est diver donné tout à c titr oissante e suite indic . atif. non Une diver feuil c le Soit A (équation Prin R manuscrite que est : autorisé soit e é p aisonnement our fair l'épr sous-ensemble euve vous ainsi . que p les 1. c de alculatric un es de et que tr Réels aduc- Si teurs. r Exercice (Calcul 1 b. (Applications oin directes Justier. du a-t-on cours) c. 1. 1 Questions vers de TOURNEZ cours b. : suite R oin ép [ ondr gente e . aux est-el questions né suivantes essair p cr ar ? VRAI Une ou our F Calculer A cr UX. et L major es e r ge-t-el ép né onses essair VRAI vers ser 2. ont 2. justié dans es ) p ésoudr ar sur une l'é démonstr suivante ation quer et r les e, r curr ép r onses p F r A e UX 3. p e ar soit la p donné : e (indic d'un , c our ontr Calculer e-exemple. Soit Une . r alors ép si onse est-il non sous-gr justié e e anne ne dans r le app 4. orte et aucun a. p el oint. app a. On Une matriciel) suite 2 MT Justier. GE Si A ts] P p cr et oissante ? est-el , le , né Si c Justier. essair ? ement diver Le 16 2007 2 4 (u ) +∞n (u ) +∞n (u ) +∞n C C 72z +(3+i)z+ +i=0. 4 2 2 2 2 2H ={(x,y)∈R ,x +y =1} R (R ,+) x y∈Q xy∈Q x∈R−Q y∈Q xy∈R−Q xy∈Q x∈R−Q y∈R−Q xy∈R−Q 7 Pnn k k n−k k n!ab=ba (a+b) = C a b C =n nk=0 k!(n−k)! 0 1 1 1 1 n@ AA = 0 1 1 n∈N A 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 @ A @ AA= 0 1 0 + 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 2 0 1 n@ AB = 0 3 0 B n∈N 0 0 2 7 F F 11 2007 c on Cette Le Montr a 1. vril est page la , (c durée 'est UTBM elation heures total MÉDIAN à Exercice la 3 que (Une [question relation ave d'ordre ontr sur duir temps , ) sur Dans le c Montr et ave exer our cic orne e opriété on ar dénit ) une on r ation. elation la binair atible e Par sur as Prin que . en Soient er MT une ts] dr oin er p elation [ dr ations. Jusitier. ér que op omp et l'addition, les e c 4. ave sup atible b omp de c pr e (c êtr vérie deux er nombr et es us] c b omplexes 5. alors multiplic on ar dir c a et que omp : ). ouvait c p e ne p elation n r e si dé et . seulement Montr si que la dénit quoi r our d'or p e alors que ou 2. Expliquer r a). est-el sur d'or dessin e d'un ? l'aide 3. et er à Monr ation c monstr atible dé- c (une c'est e dir érieur p Par tout exemple a on 2 a . 16 2007 2 C C z =a +ib z =a +ib1 1 1 2 2 2 z „z a 0n N ∈N u >MN n>N u >u >M M >0n N N ∈N n>N ⇒u >M lim u =+∞n n→∞ n q q q q√ √ √ √ 5+1 5−1 5+1 5−1−3+ +i(−1+ ) −3− +i(−1− ) 2 2 2 2z = z =1 12 2 2 2H R (0,0) R H ∗ p p1 2x,y ∈ Q p ,p ∈ Z q ,q ∈ N x = y =1 2 1 2 q q1 2 p p1 2xy = ∈Q q q1 2 ∗1 y = 0 x ∈ R−Q y ∈ Q xy ∈ R−Q p∗ ∗y∈Q xy∈Q p∈Z r∈Z q,s∈N y = q r q rxy = p=0 x= × ∈Q s p s 2 y =0 y =0 xy =0∈Q √ √ x= 2∈R−Q y = 2∈R−Q xy =2∈Q 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 @ A @ A0 1 0 0 0 1A = C +D C = D = CD = DC 0 0 1 0 0 0 C =I3 n(n−1) n(n−1)(n−2)n n n n−1 n−2 2 n−3 3 nA =(C+D) =C +nC D+ C D + C D +···+D . 2 6 0 1 0 0 1 2 n k@ AD = 0 0 0 D =(0) n>3 C =C 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 n(n+1)1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 n 2n(n−1)n @ A @ A @ A @ AA = 0 1 0 +n 0 0 1 + 0 0 0 = 0 1 n 20 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 11 2007 ar elation ( page as a tout vril r UTBM et , . durée elation temps : heures soient Corrections Montr 2. bien Prin . MT ou [1] au . est ositif e p la e ne nombr emièr un . ar d'or p total. multiplie 2. qu'on a alors alors sens alors . les On que p elation eut : é enc crir our e p de L change , galité de l'iné . puisque imp ave é c . ation elation multiplic on la a c bien ave [3,5] atible dr omp une c ansitive. as elation p . donc , 'est si n ). e - dr ents et . d'or et elation et r a a vr L ang . donc donc é et el e aie ontr tr c D'autr Par on ). r ar p (c et . en On du vérie on que et donc eut et sinon 4. ). [1,5] à . r . a On vériant montr antisymétrique e a p et ar : r elation é e. curr r enc que e 3 que Soient et e ou d'or et r ou C'est a [2] on tr l'addition est c r ave L atible et omp soit c soit étant et sur - e Donc dr (puisque d'or si elation : r c . diér A Distinguons u et r et ang ou a tels L , . L , r et est ou aie donc r a soient On ansitive c'est p vr r ai. curr A e u le r vr ang p . tout on est supp . ose e que art tels montr et que , a soient . eet our En Le l'addition. insi c donc ave appliquant atible formule omp binôme c Newton est obtient elation A r Donc a avoir L p 3. on , ossible ainsi est [1,5] et . ou et quivaut er elation ar e omp pr c L à et toujours et arrive : on est as r c L les donc tous a Dans , . éexive alors est Si r . L soit dr soit elation alors une Si est . ons alors 1. Si Exercice . 4 et 16 2007 2 0 1 0 1 0 1 2 0 1 2 0 0 0 0 1 @ A @ A @ AB = 0 3 0 B =E+F E = 0 3 0 F = 0 0 0 0 0 2 0 0 2 0 0 00 1 n2 0 0 nn @ AEF =FE E = 0 3 0 n=0 n0 0 20 1 n2 0 0 0 n n n+1 n@ AE = I n E = 0 3 0 E = E ×E =3 n0 0 20 1 0 1 0 1 0 1 n n n+12 0 0 2 0 0 2 ×2 0 0 2 0 0 n n n+1@ A @ A @ A @ A0 3 0 × 0 3 0 = 0 3 ×3 0 = 0 3 0 n n n+10 0 2 0 0 2 0 0 2 ×2 0 0 2 n+1 n∈N nF =(0) n>2 n n n−1B =E +nE F0 1 0 10 1 0 1 n n−1 n n−12 0 0 2 0 0 0 0 1 2 0 n2 n n−1 n@ A @ A@ A @ A= 0 3 0 +n 0 3 0 0 0 0 = 0 3 0 n n−1 n0 0 2 0 0 2 0 0 0 0 0 2 „ z =a+ib∈C a=a b6b z„z z = a +ib z = a +ib z „ z1 1 1 2 2 2 1 2 z „ z a < a a = a b 6 b a < a2 1 1 2 1 2 1 2 1 2‰ z „z ⇒ b 6b1 2 1 2z „ z a = a2 1 1 2 z „z ⇒ b 6b2 1 2 1 b =b z =z1 2 1 2 z = a +ib z = a +ib z = a +ib1 1 1 2 2 2 3 3 3 z „ z ⇔ a < a (a = a b 6 b ) z „ z ⇔ a < a (a = a b 6 b )1 2 1 2 1 2 1 2 2 3 2 3 2 3 2 3 a b ⇒z „z1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 a >a z „z1 2 2 1 z z1 2 z = a +ib z = a +ib1 1 1 2 2 2 z = a +ib z „ z a < a (a = a b 6 b )3 3 3 1 2 1 2 1 2 1 2 R a < a (a = a b 6 b ) ⇔1 2 1 2 1 2 a +a