UTBM integration algebre lineaire fonctions de plusieurs variables 2008 tc

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1le 12 Novembre 2008 UTBM MT12M¶edian Printemps 2008Calculatrices et documents interdits.Chaque exercice doit ^etre r¶edig¶e sur une feuille difi¶erenteExercice 1 - 8 points1) Soit unK-espace vectoriel E. D¶emontrer que pour ...

Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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le 12 Novembre 2008UTBM MT12
M´edianPrintemps2008 Calculatrices et documents interdits. Chaqueexercicedoitˆetrer´edige´surunefeuilledie´rente
Exercice 1- 8 points 1) Soit unK-espace vectorielEuorertrepquD´.onemλKetxE, λ.x= 0⇐⇒(λ= 0ou x= 0).
1
2) Soient deuxK-espaces vectorielsEetF. Soitf:E−→Filppitacilnoae´nire.Soiteaun 1 Gun sous espace vectoriel deF. Montrer quef(G)est un sous-espace vectoriel deE. 2 3 3)De´terminer,danslesbasescanoniques,lamatricedelapplicationline´airef:R−→R    µ ¶µ ¶ 1 3 1 1    telle quef( )= 2et f( )= 2. 1 2 3 1 0 4) Peut-on trouver 2 bases distinctesBetBdeR2[X]´enndoordeesllseetseocuqle   1   20 P(X) = 2X+XdansBetBsoient1? Si oui, donner un exemple, sinon, 1 justifier.     x01 2x     3 5) Soitfl’endomorphisme deRde´arnipf(y) =1 11. y. z1 2 2z a)Quelleestlede´terminantdelendomorphismeg=f3.IdRdnE?iluisteexdu´eeqir 3 3 VRtel quef(V) = 3.V. 3 b)Ende´duireunebaseBdeRtelle que la matrice defdans cette base soit de la forme   3a b   Mf,B= 0.c d 0e f
Exercice 2(NOUVELLE FEUILLE)- 6 points Soit unK-espace vectorielEde dimensionn. Soientfetgdeux endomorphismes deE. 1) Supposonsfg= 0. Etablir une relation entre le rang def, le rang degetn. 2) Supposonsff= 0. Quel est le rang maximum def? 3) Montrer que n Im(f) =Ker(f)⇐⇒(n pair,rang(f) =et ff= 0). 2
4 4) Donner la matrice d’un endomorphisme deRmunidesabcesanonaeuqie´v,arint Im(f) =Ker(f).
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Exercice 3(NOUVELLE FEUILLE)- 6 points ´
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