UTBM mathematiques pour l image 2008 gi

Publié par

Utbm mt51 Examen médian Printemps 2008Exercice 1 Etudedeproduits scalaires duplan vectoriel V22On rappelle que pour tout triplet de réels (a,b,c) vérifiant : a > 0 et b −ac < 0, on définit un produitscalaire ϕ surV via la relation :2(a,b,c)(u ,v ),(u ,v ) = au u +b(u v +v u )+cv v .1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2Un triplet (a,b,c) vérifiant les propriétés indiquées sera ultérieurement dit licite.1.1 Signification des produits scalaires ϕ(a,b,c)a) Montrer que le produit scalaire euclidien ordinaire fait partie de la famille décrite ci-dessus.b) Décrire brièvement une situation des métiers de l’image qui conduit à l’utilisation d’autres produitsscalaires.1.2 Orthogonauxdevecteursdonnésausensde ϕ(a,b,c)a) On donne pour cette sous question seulement :a = 1; b = 2; c = 8.• Vérifier que cette donnée définit un produit scalaire licite ϕ .(1,2,8)⊥• Déterminer alors [(1,−1)] ensemble des vecteurs deV orthogonaux à (1,−1), au sens du produit2scalaire associé aux réels a, b, c choisis.b) On suppose pour la suite, avoir démontré que pour tout triplet (a,b,c) licite, l’orthogonal du vecteur nonnul (u,v) est donné par :⊥[(u,v)] ={x.(−(bu+cv),au+bv) / x∈R}.1.3 Etudesd’orthogonauxpour un ϕ donné(a,b,c)On choisit de nouveau pour cette sous question, le produit scalaire ϕ .(1,2,8)⊥a) Déterminer [(1,0)] .⊥b) Déterminer [(0,1)] .⊥c) Déterminer [(1,−1)] . d) Dans le plan vectoriel V ,ϕ , on souhaite étudier des relations angulaires, donc on considère de2 (1,2,8)façon ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
Lecture(s) : 249
Nombre de pages : 2
Voir plus Voir moins
Utbm mt51Examen médianPrintemps 2008 Exercice 1Etude de produits scalaires du plan vectoriel V2 2 On rappelle que pour tout triplet de réels(a, b, c)vérifiant :a >0etbac <0, on définit un produit sur elation: scalaireϕ,b,c)V2via la r (a (u1, v1),(u2, v2)=au1u2+b(u1v2+v1u2) +cv1v2. Un triplet(a, b, c)vérifiant les propriétés indiquées sera ultérieurement dit licite. 1.1Signification des produits scalairesϕ (a,b,c) a)Montrer que le produit scalaire euclidien ordinaire fait partie de la famille décrite ci-dessus. b)Décrire brièvement une situation des métiers de l’image qui conduit à l’utilisation d’autres produits scalaires. 1.2Orthogonaux de vecteurs donnés au sens deϕ (a,b,c) a)On donne pour cette sous question seulement : a= 1;b= 2;c= 8. Vérifier que cette donnée définit un produit scalaire liciteϕ. (1,2,8) Déterminer alors[(1,1)]ensemble des vecteurs deV2orthogonaux à(1,1), au sens du produit scalaire associé aux réelsa,b,cchoisis. b)On suppose pour la suite, avoir démontré que pour tout triplet(a, b, c)licite, l’orthogonal du vecteur non nul(u, v)est donné par : [(u, v)] ={x.((bu+cv), au+bv)/ xR}. 1.3Etudes d’orthogonaux pour unϕdonné (a,b,c) On choisit de nouveau pour cette sous question, le produit scalaireϕ. (1,2,8) a)Déterminer[(1,0)]. b)Déterminer[(0,1)]. c)Déterminer[(1,1)].   , on souhaite étudier des relations angulaires, don d)Dans le plan vectorielV2, ϕ(1,2,8)c on considère de façon simultanée, le produit scalaire euclidien ordinaire. d1)Etude de[(1,0)] Montrer que tous les vecteurs non nuls de[(1,0)]forment un angle de même mesureα1, au signe près, avec(1,0). Déterminerα1. d2)Mêmes questions adaptées pourα2lié à(0,1). d3)Mêmes questions adaptées pourα3lié à(1,1). d4)Comparerαi. Est-ce étonnant géométriquement, au sens des remarques effectuées au 1.1 b). 1.4Approche inverse Dans le cadre d’une étude d’analyse d’image, on considère une image (plane...)produite lors d’un traitement donné sur le monde réel.On se propose d’interpréter des orthogonalités dans le monde réel par un produit scalaire judicieusement choisi dans le plan de l’image produite. .../...
1
a)On suppose disposer d’une primitive qui renvoie pour tout pointmdu plan image ses coordonnées(x, y) dans un repère donné.Comment fera-t-on pour définir des vecteurs du plan image ?
b)On se propose de chercher un produit scalaireϕlicite sur l’espace image qui représente le monde (a,b,c) réel.
Montrer qu’il existe un produit scalaire liciteϕsur le plan image qui traduit les orthogonalités suivantes (a,b,c) : (1,0)(1,1) ;(0,1)(4,1); (1,1)(5,2). Ce produit scalaire est-il unique ? c)Généralisation Comment généraliser l’exemple précédent ?Quelles précautions prendre quant au choix des vecteurs orthogonaux ? Quel est l’intérêt de la théorie développée ? Exercice 2exemples élémentairesMatrices projectives:   On rapporte le plan affine à un repère orthonormé directR=, jo, i. OnnoteBla base deV2    définie par :B=ji ,matrices projectives considérées sont relatives au repère. LesR=, jo, i, sauf indication contraire. 2.1Outil linéaire Fournir la matriceLdans la baseBde la symétrie vectoriellelde miroir la droite vectorielle engendrée par le vecteuri+j.    Nb : On évitera tout calcul inutile et on déterminera géométriquementl ietl j. 2.2Matrice projective d’une symétrie
On donne le pointa(5,4)du plan affine rapporté àR.   a)Fournir la matrice projectiveSdans le repèreR’=a, i, jde la symétrie orthogonalesde miroir la droite passant paraet dirigée par le vecteuri+j.   b)En déduire la matrice projectiveSdans le repèreR=, jo, ides.
2.3Matrice de glissement     a)Fournir la matrice projectiveTdans le repèreR=, jo, ide la translationtde vecteur 2. i+j   2. i+j.
  b)En déduire la matrice projectiveGde la transformationg=ts. 2. i+j
c)Montrer matriciellement quegvérifie aussi :
  g=st. 2. i+j
Cette propriété est-elle étonnante géométriquement ?
2.4Etude des puissances deg
2 3 Déterminergetg. Généraliser.
2
Soyez le premier à déposer un commentaire !

17/1000 caractères maximum.