UTBM mecanique du point et optique geometrique 2006 tc

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Utbm, TC A06 Final de ps11 Durée 1h30, sans documents Exercice I r r r L’espace est rapporté au référentiel galiléen R(O,b(x,y,z)) . Une particule P de masse m est soumise à une force donnée : rr rF ...

Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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Final de ps11 Durée 1h30, sans documents Exercice I r r r L’espace est rapporté au référentiel galiléenR(O,b(x,y,z)). Une particule P de masse m est soumise à une force donnée : r r r F=ma(sin(wt)x+cos(wt)y),a>0,w>0P A l’instant initial,t=0, la particule est à l’origine O du repère, sans vitesse initiale. uuur r rr On adopte un paramétrage cartésien :OP=x(t)x+y(t)y+z(t)zOn demande :  I.1)par application du principe fondamental de la dynamique, l’expression de l’accélération r γ( )/R,I.2)par intégration, en pensant à ne pas oublier les constantes d’intégration, l’expression uuur paramétrique de la trajectoire,OP(t),  I.3)la distance parcourue et le tempst=t>0, lorsque la particule s’arrête pour la première 1 fois,π I.4)le rayon de courbure de la trajectoire à l’instantt=.w 2wt2wt Indications :On rappelle quecos(wt)=12 sin( )=( )2 cos12 2 _______________________________________________________ Exercice II OOn considère un anneau P de masse m, ponctuel. PIl est astreint à se déplacer sans frottement sur une tige infinie fixe par rapport au référentiel terrestret, galiléen. L’axe de la r tige(O,x), est incliné d’un angleθ,θ0,πpar rapport à r l’accélération de la pesanteurg. guuur r On retient le paramétrage,OP=x(t)x, et les conditions initiales, uuur rr r OP(t=0)=0,V(P) /Rt(t=0)=0. Les actions mécaniques prises en compte sont : rr r - lapesanteur,=mgθr r  -la résistance de l’air,T= −hV(P) /Rtrr r - l’actionde la tige sur l’anneau,telle queR.x=0.  II.1)Représenter les actions mécaniques sur une figure. r  Ecrirela projection selonxdu principe fondamental de la dynamique. Est-ce une équation du mouvement? Justifier votre réponse.  II.2)En déduire la vitesse de P, par rapport àt. - Quelle est la vitesse limite atteinte pourθ=0? rπ - Quelle est l’expression du vecteur unitaire tangenttsiθ>? 2  II.3)Déterminer le vecteur position de P. r  II.4).Déterminer l’expression de l’inconnue de liaison
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