UTBM modelisation numerique pour l ingenieur 2 applications et codes industriels 2007 gm

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MN52 – Modélisation Numérique pour l’Ingénieur – Applications et Codes Industriels Final Printemps 2007 – F. Peyraut – R. Bolot N.B. : Notes de cours, TD et TP autorisés. TRANSFERT THERMIQUE CONDUCTIF Exercice 1 (5 points) : On considère un problème stationnaire de conduction de chaleur en 2D-axisymétrique avec un maillage constitué de deux éléments triangles E et E et de quatre nœuds N , N , N et N 1 2 1 2 3 4(fig. 1). La structure est soumise à deux sources internes de chaleur q et q affectées aux 1 2deux éléments du maillage. Des températures connues et sont imposées aux nœuds 1 T T1 4et 4. Données numériques : conductivité du matériau = 10 W/(m °C), = = 5 °C. T T1 4 2m N N4 3 E : 2 q 2 1mE : q 1 1 N N1 2 1m z 1m r Figure 1 Les calculs seront réalisés avec la convention de numérotation locale indiquée sur la figure 2 : N NN IIIIII II E2 E1 N NI II NIFigure 2 Calculer les températures aux nœuds du maillage dans les deux cas suivants : 3 a) q = q = 100 W/m1 2 3 3b) q = 100 W/m , q = 50 W/m1 2 1 MN52 – Modélisation Numérique pour l’Ingénieur – Applications et Codes Industriels Final Printemps 2007 – F. Peyraut – R. Bolot Exercice 2 (1 point) : On considère un problème stationnaire de conduction de chaleur en 2D-plan. La dimension L de la structure considérée est supposée grande devant 3e (fig. 3). Cette structure est soumise à une température T sur sa face supérieure et à un flux φ sur sa face ...
Publié le : lundi 11 juillet 2011
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MN52 – Modélisation Numérique pour l’Ingénieur – Applications et Codes Industriels
Final Printemps 2007 – F. Peyraut – R. Bolot
N.B. : Notes de cours, TD et TP autorisés.
TRANSFERT THERMIQUE CONDUCTIF
Exercice 1 (5 points)
:
On considère un problème stationnaire de conduction de chaleur en
2D-axisymétrique
avec
un maillage constitué de deux éléments triangles E
1
et E
2
et de quatre noeuds N
1
, N
2
, N
3
et N
4
(fig. 1). La structure est soumise à deux sources internes de chaleur
q
1
et
q
2
affectées aux
deux éléments du maillage. Des températures connues
T
1
et
T
4
sont imposées aux noeuds 1
et 4. Données numériques : conductivité du matériau = 10 W/(m °C),
T
1
=
T
4
= 5 °C.
Figure 1
Les calculs seront réalisés avec la convention de numérotation locale indiquée sur la figure 2 :
Figure 2
Calculer les températures aux noeuds du maillage dans les deux cas suivants :
a)
q
1
=
q
2
= 100 W/m
3
b)
q
1
= 100 W/m
3
,
q
2
= 50 W/m
3
r
z
N
1
2
m
N
3
N
4
N
2
E
2
:
q
2
1
m
E
1
:
q
1
1
m
1
m
E
2
E
1
N
I
N
II
N
II
N
I
N
III
N
III
1
MN52 – Modélisation Numérique pour l’Ingénieur – Applications et Codes Industriels
Final Printemps 2007 – F. Peyraut – R. Bolot
Exercice 2 (1 point)
:
On considère un problème stationnaire de conduction de chaleur en
2D-plan
. La dimension L
de la structure considérée est supposée grande devant 3e (fig. 3). Cette structure est soumise à
une température
T
sur sa face supérieure et à un flux
φ
sur sa face inférieure. Les données
numériques sont : e=10 mm ; conductivité du matériau=50 W/(m °C) ;
φ
=10
4
W/m
2
. Calculer la
température T
0
sur la face inférieure, au centre de la structure, dans les deux cas suivants :
a)
C
20
T
°
=
. Donner T
0
en °C
b)
K
20
T
°
=
. Donner T
0
en °K.
y
T
0
L
T
3e
x
φ
Figure 3
TRANSFERT THERMIQUE RADIATIF
Exercice 3 (3 points)
:
On considère un transfert stationnaire radiatif de chaleur au sein d’une enceinte fermée (fig.
4). L’enceinte est constituée de quatre surfaces S
1
, S
2
, S
3
et S
4
, d’émissivité respective
ε
1
,
ε
2
,
ε
3
et
ε
4
. Dans les parois de l’enceinte, la chaleur est transportée par conduction. Le problème
posé est un problème plan. La structure considérée est soumise à une température
T
sur sa
face supérieure et à un flux
φ
sur sa face inférieure. Les données numériques sont : e=10 mm,
conductivité du matériau=50 W/(m °C), émissivité des surfaces rayonnantes :
ε
1
=0.5,
ε
2
=
ε
3
=
ε
4
=0.3, constante de Stefan-Boltzmann=5.67 10
-8
W/(m
2
°K
4
),
φ
=10
4
W/m
2
. On
suppose que la base L de la structure est très grande devant l’épaisseur e.
y
Figure 4
e
L
S
3
,
ε
3
S
2
,
ε
2
S
4
,
ε
4
x
e
e
conduction
radiation
S
1
,
ε
1
T
φ
2
MN52 – Modélisation Numérique pour l’Ingénieur – Applications et Codes Industriels
Final Printemps 2007 – F. Peyraut – R. Bolot
1) Calculer les températures T
0
, T
1
et T
2
(fig. 5) dans les deux cas suivants :
a)
C
20
T
°
=
. Donner T
0
, T
1
et T
2
en °C.
b)
K
20
T
°
=
. Donner T
0
, T
1
et T
2
en °K.
2) Dans quel cas aurait on le meilleur accord entre les résultats de la question 1) et le résultat
d’un calcul éléments finis : L=10
-6
m ; L=1 m ou L=+
?
y
T
1
T
2
x
T
0
Figure 5
Question (1 point)
: comment gère-t-on plusieurs enceintes radiatives disjointes dans
ANSYS ?
Exercice 4 : Conduction thermique en régime transitoire -
Cas d’un milieu semi-infini avec flux imposé.
(8 points)
Problème :
Un solide semi-infini en acier inoxydable est initialement à 15°C (
).
15
)
0
,
(
=
s
x
T
A t=0s on impose sur la surface un flux thermique constant de
10
6
W.m
-2
.
Qo
x
Données acier inox:
λ=16 W.m
-1
°C
-1
ρ=8000 kg.m
-3
C=500 J.kg
-1
.°C
-1
On peut montrer que la solution analytique s’exprime de la manière suivante :
(
)
t
x
c
ie
Q
Ti
t
x
T
κ
κ
λ
2
/
rf
t
2
)
,
(
0
+
=
C
ρ
λ
κ
=
représente la diffusivité thermique du matériau.
Avec
(
)
π
1
0
rf
=
c
ie
, la température de surface évolue donc suivant :
t
2
)
,
0
(
0
π
λρ
C
Q
Ti
t
T
+
=
3
MN52 – Modélisation Numérique pour l’Ingénieur – Applications et Codes Industriels
Final Printemps 2007 – F. Peyraut – R. Bolot
Numérique:
-
Considérer une profondeur de 5.5 mm.
-
Utiliser 6 volumes (dont le premier sera un demi-volume).
Représentation:
0
4.5
3.5
2.5
1.5
0.5
T1
T2
T3
T4
T5
T6
5.5
1) Déterminer le système (6 équations) permettant de calculer T(x
i
,0.1s) à partir de
T(x
i
,0s) suivant un schéma d’intégration temporelle de type Crank-Nicholson.
Mettre le problème sous la forme :
[
]
[
]
[ ]
[
]
[ ]
S
T
B
T
A
j
j
+
=
+
1
Où j représente l’indice temporel.
Et exprimer les matrices
,
[
]
A
[ ]
B
et
[ ]
S
en fonction de 3 coefficients à expliciter.
Donner les valeurs numériques de chaque coefficient puis résoudre.
(Rq: vous utiliserez une surface unitaire suivant la normale à x).
2) Calculer T(x
i
,0.5s) en réalisant 5 pas de temps de 0.1s avec ce même schéma et
conclure en comparant à la solution analytique de la température de surface.
Exercice 5 :
(2 points)
Si l’image suivante représente la température dans différentes cellules d’un maillage 1D en
mécanique des fluides et si la flèche représente la direction de l’écoulement en w, calculer
Tw (face située entre W et P) pour des schémas de discrétisation de type centré, amont et
QUICK.
P
E
E
E
W
WW
w
15
14
15.8
16.5
17
4
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