UTBM probabilites et statistiques 2002 tc

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SQ 20 Médian Automne 02 Lundi 4 novembre 2002 Les deux parties sont à rédiger sur des copies séparées Matériel autorisé: Calculatrice, Tables de Statistiques, une feuille aide-mémoire A4 recto I. Première partie (10 points) 1°) Le système (S) d'un pilote automatique d'avion est formé de quatre servo-moteurs (M) et de trois calculateurs (C), tous indépendants. Les temps de fonctionnement (en heures) T et T d'un servo-M Cmoteur et d'un calculateur suivent des lois exponentielles d'espérances E(T ) = 12 000 et E(T )=5600. M Ca) Ecrire les densités f et f des temps de fonctionnement, ainsi que leurs fonctions de répartition F M C Met F . Calculer les probabilités p(T ≥ 48) et p(T ≥ 48). C M C b) Le système S tombe en panne dès qu'un des appareils ci-dessus tombe en panne. Si T est le temps avant panne, déterminer, pour t > 0 la probabilité p(T ≥ t). Montrer que p(T < 48) ≈ 0,04. c) Une compagnie aérienne a une rotation de sa flotte sur deux jours. Cette flotte est composée de n avions. Une réparation sur le pilote automatique dure 48 heures, quelle que soit la défaillance. Si on note N le nombre d'appareils en panne de pilote automatique, déterminer la loi de N. d) La compagnie veut maintenir en état 68 avions avec une probabilité 0,985 . Quelles sont les valeurs de n permettant d'atteindre cet objectif. 2°) Les bagages de soute sont soumis à des contrôles aléatoires par passage dans un scanner à rayons X. Les scanners ...
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 SQ 20 Médian Automne 02
Lundi 4 novembre 2002   Les deux parties sont à rédiger sur des copies séparées Matériel autorisé: Calculatrice, Tables de Statistiques, une feuille aide-mémoire A4 rect
I.Première partie(10 points) 
1°)d'un pilote automatique d'avion est formé de quatre servo-moteurs (M) etLe système (S) calculateurs (C), tous indépendants. Les temps de fonctionnement (eM tenT eu hCs)re T-nus reov 'd moteur et d'un calculateur suivent des lois exponentielles d'esM )e=t1 2 0E0(0TncespEé(raC 00 .)=56T a) Ecrire les densitM t efs éC temps de fonctionnement, ainsi que leurs fonctions de rf desMépartitio et FC. Calculer les probabilitésM  p(T(p te )84CT 48). b) Le système S tombe en panne dès qu'un des appareils ci-dessus tombe en panne. Si T est l
avant panne, déterminer, pour t > 0 la probabilit)é. uq r(p e4<Tp(TMorent80),04. c) Une compagnie aérienne a une rotation de sa flotte sur deux jours. Cette flotte est compo avions. Une réparation sur le pilote automatique dure 48 heures, quelle que soit la défaillance. Si N le nombre d'appareils en panne de pilote automatique, déterminer la loi de N. d) La compagnie veut maintenir en état 68 avions avec une probabilité 0,985 . Quelles s valeurs de n permettant d'atteindre cet objectif.  2°)Les bagages de soute sont soumis à des contrôles aléatoires par passage dans un scanner à Les scanners CTX-5500 présents à Roissy ont la particularité de voiler irrémédiablement les p photographiques présentes dans les bagages testés. Les bagages de cabine, par contre sub passage dans un portique beaucoup moins puissant, qui n'a pas d'effet visible sur les pellic photographe insouciant prend avec lui en cabine 40% de ses pellicules et en laisse 60% en rése sa valise de soute. a) Dans le service de contrôle on dispose de deux chaînes A et B de même capacité. A contr des bagages et B en contrôle 25%. Arrivé à destination, ce photographe choisit une pellicule a dans son stock, déterminer les probabilités suivantes: E1= La pellicule est voilée2 E=L  aepllcilu   tnah'uq elleaté ese vot éeilac s ans it doutela s E3dans la soute sachant qu'elle n'est pas voilée.= La pellicule était b) On suppose que sa valise est passée par le scanner. Le photographe, qui ne le sait pa pellicules parmi les 25 qu'il avait emportées (15 en soute et 10 en cabine) pour une sortie. Si nombre de pellicules voilées, déterminer la loi de X.
c) Calculer la probabilité d'en avoir au moins une intacte. d) Un jour où la chaîne B ne fonctionne pas, un Airbus A 320 transporte 150 passagers aya valise chacun. Soit Y le nombre de valises sur les 150 ayant transité par le scanner A (c'est-à-d été contrôlées). Déterminer la loi de Y, déterminer son espérance et sa variance. Calculer les probabilités des événements:Y(985), (Y80). Pour quelle valeur entièreα de aurait-on p(E(Y)α< Y < E(Y) +α)0,95 ?  
Tomographe à rayons X CTX-550
 
 
                           Effet dévastateur sur des pellicu
 
 
II.
Seconde partie(10 points)
1°)Le temps (en minutes) entre deux décollages en période de pointe est une variable aléatoir 1 |R1t21 densitéf 2y a toujours au moins une minute entre deux décol. Ceci signifie qu'il (t)=ST|0site<0tsi ges. On suppose en outre que les temps entre décollages sont des variables indépendantes a) Déterminer la fonction de répartition F de U et tracer les courbes représentatives de f et F.
b) Calculer l'espérance et la variance de U. c) Pour éloigner les oiseaux de la piste on fait appel à des faucons qui mettent deux minutes fectuer une rotation (envol, survol de la piste et retour). On fait partir le faucon immédiatement décollage. Quelle est la probabilité qu'il puisse effectuer sa rotation avant le décollage suivant ? d) Un contrôleur a l'idée saugrenue d'alterner les décollages des longs courriers (Airbus A 3 340, Boeing 747 ou 777, …) et des moyens courriers (Airbus A 320, Boeing 737, …). On note V l riable aléatoire V = temps entre deux décollages de longs courriers. Calculer la densité de V, s rance et sa variance. 2°)On observe, sur des périodes de 15 minutes, le nombre d'avions qui décollent sur une piste e tient le tableau suivant: k = nb d'avions 0 1 2 3 4 5 6 7 8 nk 5 8 7 3 19 20 14 10 14= nb de périodes de 15 min b g
a) Déterminer une distribution de probabki,liptké, k=0,1,K8correspondant à cette observation
m r (distribution empirique). b) En calculer l'espérance et la variance. c) Montrer qu'on peut considérer que cette distribution peut être assimilée à une loi de Poisso ramètre 4. Comparer les deux distributions. d) On considère qu'un contrôleur aérien peut diriger au maximum 5 décollages par quart d' Quelle est la probabilité qu'il soit débordé ? e) Quelle est la probabilité qu'il y ait plus de 20 décollages dans une heure.  
    […] dans la vie, il n'y a pas de solutions. Il y a des forces en marche: il faut les créer et les solu-tions suivent … Antoine de SAINT-EXUPÉRY (France 1900 – 1944)Vol de nuit.
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Médian SQ 20 Lundi 4 novembre 2002 Corrigé
III.Première partie (corrigé)
1°)a) Les lois étant exponentielles, l'espérance est égale à l'inverse du paramètre, donc: densités dMT et  eCTsi t f0 ,M(t)=00e112000t201et fC(t)=15600e56t00 tet 0 si<0. De même pour tt 0 t=e12 000et F t=e5600 si tet 0<0 les Ofno nac tdioonnpc s TbdMe>4p8a=sriti1tgtioFnM:F(M(84),)tep9069CTC(>)b48= −1 FCg(48) 0,99.1  5 b) Le pilote automatique fonctionne si les sept éléments indépendants fonctionnent simultané 3  p(Tt)=1bFM(t)41gFCb(t)3=et1e2g0004+5600jet donc p(T>48)0,959et donpc( T<48)0,04 c) Si on suppose n avions indépendants, on a pour chaque avion un succès (panne !) avec un un échec de proba Nedrb eèc ss cu donsuitc ub1 étili960,= p om nLe. Be lone aln,(bii mino .0=p )40, d) Si on veut 68 avions en fonctionnement il est nécessaire que n soit supérieur à 68, donc puisse approcher la loi de N par une loiλ  O).4n,0ncdoa n ssioP ed0=(P non en panne et n-n a ivno,sd no tne Né tionnement. On cherche alors n tel q89.5 ,086 )<N-ne p(u   = n 70 74 75 80 D'après le tableau, on a donc n = 75 λ= 0,04 n 2,8 flotte doit donc être de 75 avions . 3,2 La 2,96 3
2°)
n 12 6 768 2 p(N n – 68)0,50,97 0,9881  a) La situation des pellicules peut être représentée par le schéma suivant:       0,6voilée0,18 donc: a On = 0, 0,075 p(voilée) = 0,18 +     0,5A   p(voilée | soute) = 0,255 / 0,6 = 0,425       0,4voilée0,12 / 0,745 = 0,4 0,345p(soute | non voilée) = 0  ,6 soute      2        0, 5voilée0,075 pellicules   0,5B     75       0,voilée0,225 0 4   ,       4   cabine   voilée0,      b) La valise étant passée par le scanner, on a la répartition1 0s eéliov:teunavi s 15 voilé es Le tirage étant simultané la loH ).,60=p ,4=n ,52=N(st   X ei de
c) On a donc p(au moins une pelliculetc)eniat  u mo p(aune ins X(p- )4=,0 == 98) tep(= 3)X 1 =i tnca d) Pour 150 passagers indépendants, on est dans la situatioBrpa'd ,sulp el n(1=b nimoai6) et de50, p=0,ne'uoi l dn
les relations du cours on a E(X) = np = 90 et Var(X) = np(1-p) = 36 .  Les paramètres n et p de cette loi binomiale étant convenables (n > 100 et p pas proche de 0 − − parp (u8n5evY.a.9Y5)' nop(r8m4,a5leYd'e9m5,ê5)mepeGHF8s4p,5é6ra9n0ceYe't6 9m0êm95e, 56va9ri0aIJKn=cpe,b 0m,9o2yenNn(a0n,1t)un0,e9 2cor=r0ge,6c4ti2on de con ≤ = ≤ ≤ = ≤ PDoeu rmαcur erhap ,,m e ê conpnh(e9c0alcαul<aYn<a9lo0+guαe)=, opnYGFH)trαo=+u0v0,,e596<p.(Y8'090< α −0,5IJK=0,95. On a donc, d'après la table 6 6 6 de la loi normale centréeαré0d,5ui=t1e,  donc96 etα =12,26. Commαeest un entier oαn=a 13 . 6   
 
1°)
 
IV.Seconde partie (corrigé) Dans tout l'exercice on ne considéreLra queOles val .nOa ,[e teurs d dans c[1e,c+as: a)t1, F(t)=t1fz(x) dx=YZX1te122x1dx=NMe2x11tPQ=1et21, de représentations graphiques:
1
(CF)
(Cf) 0 b)E(U)=zt f (t) dt=1t f (tz) dt=3(par intégration1z2 2 par parties).VDare( Um)ê=met f (t) dtE(X)=4. On pourrait remarquer que U suit une loi exponentielle décalée11 ,t see d cu'neestEl(λoài ,5=0e r)'idduq esUpé-rance l'inverse du paramètre = 2 et de variance 2². On pourrait ainsi retrouver les résultats sans f c) P(faucon revient avant le prochain avion) = p(U > 2) = 1 – F(2) = 0,368 = p( rotation sans a d) Le temp3tne U solgn socerd ue xest la surriers xuedol emmo ed 1isetin2êmemd  eUanndste pleodié Uque U. On a donc sa densité h définize par:z ∀ ≥2, h (z)=f (t) f (zt) dtavec f(t) nulle si t<1 et f(z-t) nulle si z-t < 1. Don −∞ 1 1 1 1 2 1 2 z2, h(z)=1zzf (t) f (zt) dt=XYZz1e41t− +2ztdt=41ez21zdtz=z42ez2. D'après les propriétés de l'espérance et la variance (+ indépendance) on a : E(U3) = E(1UE)( + 2) = Ut  V6  e3  )raU(r =aV1rVa+ ) (U2(  .8 = ) U   2°) a un total de 100 observations, donc les probaa) Onkl odcnno tils bsétipme iksedqiirvi ne uséps par 100. k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 total
nk 19 20 14 10 14 7 3 100 5 8 pk 0,05 1 0,07 0,14 0,19 0,2 0,14 0,1 0,08 0,03 k pk 0,56 0,4 0,7 0,6 3,98 0,07 0 0,8 0,28 0,38 kp 0 3,5 3,6 3,92 3,2 19,76 0,07 0,56 1,14, 3,2  8 8 b) On a doEn(cX )=k pk=3,98 et Var(X)=k2pkE(X)2=3,92. ∑ ∑ k=0 k=0 c) L'espérance étant presque égale à la variance (le résultat est presque trop exact pour être qu'il s'agit d'une loi de PPo(λ.)4=is nos On se rend compte en comparant les deux distributions que les p
assez proches. d) Le contrôleur est débordé si X>6. On a donc p(éd)béro = 15) –d 0=,718–5 p=(X0,215P(t(λ elba=4 de) ) e) Le nombre de décollages en une heure est la somme des décollages (indépendants) pen d'heure. C'est donc la somme deP(q λrt eolsiaus a'ets teanilc on d )4= dnepédniP=16i (ar l). Pig t eol'dnuutced erceri et λ de la tabPle(λ 0,132 de 20) = 1 – p(au plus 20) = = p(plus de 20 décollag p(plus=16) ligne 20 on a    
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