UTBM suites series fonctions de variable complexe 2004 tc

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MT 26 Médian Printemps 04 Jeudi 29 avril 2004 Matériel autorisé: uniquement une feuille aide-mémoire A4 recto Les deux parties sont à rendre sur des copies séparées (même vides) I. Première partie ( 4 + 4 + 4 points ) 1°) Étudier la convergence des intégrales généralisées suivantes : ¥ 1 2 ¥X F 1 I X F 1 I dxF I F I X - xI = 1- ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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  MT 26 Médian Printemps 04 Jeudi 29 avril 2004  
Matériel autorisé: uniquement un-em féemuilolier ea iAd4e r ecto Les deux parties sont à rendre sur des copies séparées (même vides)
I.Première partie( 4 + 4 + 4 points )
1°) Étudier la convergence des intégrales généralisées suivantes : 1=ZY1¥HG-cosGHxJJK,2=ZY10HG-cosHGx1JJK,3=ZXY-12+xdx-x2, I=0¥zlnc1-e-xhdx I11dxI1dxI42   2°) Calculer les intégrales suivantes, elles sont convergentes (ne pas le vérifier): x21 22 I1=ZY¥(xdxx+I1,)2=¥xx e- Idx ,3=YZHG-x12ln(1-x)-1xJKdx 000   3°) Pour lutter contre certaines idées fausses : a) f étant une fonction continue sur R+, peut-on dire¥zf (x) dx convergeÞåf (n) converge ? 1n³1 · permettent Quelles conditions sur f ? de répondre oui à la question a) · Étudier la réponse à la question a) dans les cas suivants (x) : f=cosp)p(,xsfuix=cos2px x x
b)åunconvergeÞåun2converge ? ·Quelle est la réponse à b) dans le cas où"nÎN, un> 0 ? · ?Quelle est la réponse à b) dans le cas général Justifier vos réponses par une démonstration ou un contre-exemple. c)åunetåln 1+unsont-elles de même nature (convergentes ou divergentes) ? Donner la réponse suivant unpar une démonstration ou un contre-exemple., en la justifiant  
II.Seconde partie(3 + 3 + 2 + 4 points) 
1°) Intégrales et séries : Soit la* s u nfinie par  suitebunngÎNn=YZ(nn+1)pxdxix p n>0égraleZYp¥ . snixxxd a) Étudier la convergence de la sérieåun. En déduire la convergence de l’int b) Étudier la convergence absolue de la sérieåun. En déduire la convergence absolue de l’intégrale n>0 *2 YZp¥a démonton pourrer ruq er ou P . xxd ,noitseuq ettecisxn"nÎN un³n+1p. ( )  
 
 2°) Étudier la convergence des séries suivantes : S1=å>HGF3n+JIKnS2=å>HGF3n+KIJn2S3=å>n(23n-i)n 3n 1 3n 1 n 0 n 0 n 0  3°) Calculer la somme des séries convergentes (ne pas le vérifier) : S1 nn S2+n+ =nå>0l1HG+nn2(+3)KJ2=nå³023! n  4°) Soit deux sériesåunetåvnavec"nÎN, un>0 et vn> (u0 ,n lim) vérifiant un+1=1. n® ¥un a) On suppose que$n0ÎN /"n>n0un+1£vn+1et on note C = un0>0 .  unvnvn0 ·Monter par récurrence que"n³n0un£C vn. ·En déduireåvnconvergeÞåunconverge etåundivergeÞåvndiverge .  
 
b)
c)
d)
On suppose que, pour n au voisinage de¥uu ,n+1=1-an+oHG1nJKet on considère vn=n1b (b>0). n ·inertermDé1 d  evl o'drerppolneme nu evéden  à 1lit témin +1au voisinage de +¥. n vn ·En déduirea >1Þåunconverge eta <1Þåundiverge ·Étude du casa= 1 : Soit un=l Montrer que u1 .n +1=1-1+oGH1JK.åunest-elle convergente ? n n n unn n Soit u ue un +1onvele cte ?rgen-tle se1 n=nl1n2uM.tron qernn=1-n1+oGHnJK.åun En déduire un prolongement du critère de D’Alembert dans le cas indéterminé lim un+1=1 n® ¥ un Étudier, suivant les valeurs de xÎR+, la convergence de la série :åCnn2xn. n³1
Résultats pouvant être utilisés sans démonstration dans les calculs  Intégrale de Gauss0¥ze-x2d Formule de Stirling : n!¥»nne-n2pn2x=p2 n x Développement en série de la fonction exponentielle"xÎRå³xn=e n 0! Rappel de MT 12 : Second théorème de la moyenne sur un intervalle I = [a, b] : Soit f continue sur I, et g intégrable, positive sur I. Alors$cΠ/a, bbazf (x) g(x) dx=f (c)abzg(x) dx  
A quoi sert la vie, si les enfants n’en font pas plus que leurs pères ? Gustave COURBET (France 1819 - 1877 )  
 
 
 
 
 
 
 
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