UTBM suites series fonctions de variable complexe 2005 tc

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MT 26 Médian Printemps 05 Lundi 25 avril 2005 Matériel autorisé: uniquement une feuille aide-mémoire A4 recto, les doigts sont permis pour les calculs. I. Première partie ( 1 + 3 + 3 + 4 points ) 1°) Question préliminaire : Représenter graphiquement les échelles de comparaison des fonctions au voisinage de ¥ ...
Publié le : jeudi 7 juillet 2011
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  MT 26 Médian Printemps 05 Lundi 25 avril 2005  
Matériel autorisé: uniquement un-em féemuilolier ea iAd4e recto, les doigts sont permis  pour le
I.Première partie( 1 + 3 + 3 + 4 points )   
1°) Question préliminaire : Représenter graphiquement les échelles de comparaison des fonctions au voisinage de¥, puis au voisinage de 0. Placer les fonctions x , 1,ln x, ex, xa(a >0), x , xl ainsi que leurs inverses.n x ¥ Indiquer sur ces graphiques les domaines de convergence des intégralesz et dxf (x)az dx ,f (x) a o pour les fonctions continues sur [a,¥[ ou sur ]0, a].    2°) Étudier la convergence des intégrales, sans en calculer la somme : I1=YZ01ln(ins1-xx)dxI2=YZ1¥ln(sinx-I)1dxx3=YZ1¥x+x1-dxx   3°) Calculer les intégrales généralisées suivantes (ne pas en vérifier la convergence) : I1=XYZl¥n 3dexxI12=YZ¥2c+xlnx2x2hdx +11   4°) Soit, poura lesréel positif, I intégralesa=ZY¥psina,xdJxa=YZpsinaKxtxeda=ZY¥xsnia x.d x x0x0 a) Étudier, suivanta, la convergence de Ia, puis celle de Ja. En déduire les valeurs deatelles que Ka soit convergente b) Convergence absolue de Ia: Y( n+1)psin Soit la suite (un)nÎN*définie par un=Znpxa  .xdx ·Montrer :"nÎN*,$cnÎnp, (n+1)ptel que un=2cna (, puisbn+12)pag£un£b2npag. n-·Montrer :"nÎN*ZYppsxniaxxd=nkå=11uk, puis queZYp¥xnsia ss seeiré letxdx,nå¥=1unetnå¥=11na sont de même nature (convergentes ou divergentes). c) En déduire les valeurs dea> 0 pour lesquelles Iaest absolument convergente. d) Est-il possible que Kasoit absolument convergente ?
 
s calc
  
z-2in suivant zÎC n23n
II.Seconde partie( 3 + 4 + 4 points) 1°) Étudier la convergence des séries suivantes : S1=å¥1,S2=å¥F1GH-1JKIn2, S3(z)=å¥ n=0Cnnn2=1nn=1  2°) Étudier la convergence et la convergence absolue des séries : S1å=¥(-1)n(!n2+S)1=å=¥(-1)n(2+n+S)1=å=¥1atnnHGpKJ =2 2 3 n 0nn 1n nn 1n 3 En calculer les sommes S1et S2.   3°) Calcul approché de la somme d’une série : e S=¥(-1)n=¥un a) Montrer quå å S est une série convergente. Sin=uk n=0n+1n=0knå=0 partielle (somme d’ordre n), montrer que les (S2n) et (S2n+1) sont des suites adjacentes. En déduire : *et R¥1 "nÎN S2 n+1£S£S n2 n=k=ån+1uk£n+2 . Combien faut-il calculer de termes de la suite (un ?avoir une valeur approchée à 0,01 près de S) pour b) Soit T=å¥12et le re=å¥12. n=1Re dr: n e sntord'nk=n+1k *1 1 n NY¥2dx£Rn£Y¥2dx . te. Montrer que" ÎZn+1xZnxser ud noitaroja mne ureuiéd dEn Combien faut-il calculer de termes pour qu’on ait une valeur approchée à 0,001 près.    
Résultats pouvant être utilisés sans démonstration dans les calculs Formule de Stirling : n!¥»nne-n2pn Intégrale de Gauss0¥ze-2x2dx=2p   n "xÎRåx=ex n³0n! Rappel de MT 12 : Second théorème de la moyenne sur un intervalle I = [a, b] : b b Soit f continue sur I, et g intégrable, positive sur I. Alors$cÎa, b /zf (x) g(x) dx=f (c)zg(x) dx a a    On peut tromper une partie du peuple tout le temps, et tout le peuple une partie du temps, mais on ne peut pas tromper tout le peuple tout le temps. attribué à Abraham LINCOLN (États-Unis 1809 - 1865 )     
 
 
 
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