UTBM suites series fonctions de variable complexe 2006 tc

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MT 26 Final Printemps 06 Jeudi 29 juin 2006 Matériel autorisé: uniquement une feuille aide-mémoire A4 recto I. Première partie ( 6 + 6 points ) 1°) ...

Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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MT 26 FinalPrintemps 06 Jeudi 29 juin2006 Matériel autorisé: uniquement une feuille aidemémoire A4 recto I.Première partie( 6 + 6points ) 1°) Soita ÎN et la fonction f, de période 2R \pdéfinie sur ]-p, +pf (x)] par :=sin(ax) . + a) Représentergraphiquement cette fonction en prenant par exemplea= 0,5. b) Existetildes valeurs deapour lesquelles f est continue ? c) Développerla fonction f en série de Fourier. p 2 (2p+1)(-1) n d) Endéduire les sommesS=et S=. å å 1 22 22 2 2 (2p+1)- a c h p³0 n³1n- a n 2n n x+x 2°) Soitla suite de fonctions (f) définiepar"xÎ -1,+1"n³(x)2 f=n n>1n 2 n-1 a) Étudierla convergence simple, puis la convergence uniforme de cettesuitesur [-1, +1]. ¥ b) Déterminerle domaine de convergence (D) de lasérie S(x)=.f (x) å n n=2 1 n c) Décomposeren éléments simples les fractionset etcalculer la forme explicite (à 2 2 n-1 n-1 l’aide de fonctions usuelles) de S(x). d) Calculer,si ce calcul est possible, S(-1).
II.Seconde partiepoints )+ 4 + 3( 2
2 1°) Développeren série entière les fonctions g et h définies parg(x)=1-x et h(x)=1-x pour xÎI, avec I = ]-1, +1[. 2 c 2°) Onconsidère l’équation différentielle(E )1-x y"-x y'+y=0 qu’onrésout surI = ]-1, +1[. 0 a) Déterminerune série entière en 0 solution de l’équation (E). 0 b) Endéduire sous forme explicite deux fonctions indépendantes yet y , solutions de (E ) et écrire 1 20 la solution générale sur I. 3°) Soitla fonction f définie sur R² par f(x,y) = x² y-x y² + xy. a) Déterminerl’ensemble S des points critiques, c’estàdire l’ensemble des points en lesquels on pourrait avoir un maximum ou un minimum. 1 1 G J b) Montrerque les points O(0, 0) etA-, sontdans S et étudier l’existence d’un extremum en H3 3K ces points. J’aime les calculs faux, car ils donnent des résultats plus justes  HansARP ( 1886  1973 )
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