UTBM suites series fonctions de variable complexe 2008 tc

Publié par

le 19 Janvier 2009UTBM MT26Final automne 2008Calculatrices interdites. Le seul document autoris´e est une feuille A4 recto-versor´edig´ee `a la mainChaque partie doit ˆetre r´edig´ee sur une feuille diff´erenteIl sera tenu compte dans la ...

Publié le : jeudi 21 juillet 2011
Lecture(s) : 211
Nombre de pages : 2
Voir plus Voir moins
le 19 Janvier 2009 UTBM MT26
Final automne 2008 Calculatricesinterdites.Leseuldocumentautoris´eestune feuille A4 recto-verso re´dig´eea`lamain Chaquepartiedoitˆetrer´edig´eesurunefeuilledi´erente
Ilseratenucomptedanslacorrectiondelapr´esentationetdelar´edactioncorrectedes d´emonstrations.
PREMIERE PARTIE. (12 points)
2 1)De´terminerlede´veloppementens´erieentie`reen0delafonctionf(x) = ln(x5x+ 6)et de´terminersurquelintervalleevd´opel.cevtlabaelepemtnse
P n 2)Justierlefaitquunese´rieentie`reanxde rayon de convergenceRest continue sur n0 ]R, R[.
P n 3) Soitanxdere`etiecndyoranegrevnoecueneine´sreRRd´enit(nO.bn)n0par n0 P n nN,b2n=anetb2n+1=Qu0.eselertlnoyaocedrevncnegtn`iireesae´deleerebnx. n0 Justifier.
4)De´terminerlede´veloppementdeFouriercomplexedelafonction2πuqide´de´p-oireienrsu 2x ]0,2π] parf(x) =edleeFouentdr´eeriere´delerimeppolevdu´end.Ef.
2π Rappel :Soitf:R−→Rune fonction continue par morceaux,T(ep´eriodiquωOn= ) T d´enitlescoefficients de Fourier complexesdefpournZ: Z T 1 inωt cn(f) =f(t)e dt. T 0
5)De´terminerunefonctiondelavariablecomplexef(x+iy) =p(x, y) +i.q(x, y) holomorphe surCavecp(x, y) =xy.
6)De´terminerledomaineded´erivabilit´eausenscomplexedelafonctionde´niesurCpar f(z) =z.(1z¯).
1
TOURNER LA PAGE SVP
DEUXIEME PARTIE (CHANGER DE FEUILLE!).
Exercice 1(5 points) Soitl´equationdi´erentielle
00 0 (E)x.y+ 2.y+x.y= 0
0 avec les conditions initiales :y(0) = 1,y(0) = 0.
1)D´eterminerlessolutionsde´veloppablesens´erieenti`ereauvoisinagede0deEainsi que leur rayon de convergence.
2)Reconnaıˆtrecessolutions.
Exercice 2(5 points) Soit la fonction impaire,2π-erp´idoiteuqelleeuqx]0, π[par : f(x) =x. 1)Tracerlacourberepr´esentativedecettefonctionsur[3π,3π].
2)CalculerlescoecientsdeFourierre´elsetdonnerlede´veloppementdeFouriercorrespon-dant def.
3)Versquellefonctionconvergelede´veloppementdeFourierdef? Cette convergence est-elle uniforme ?Pourquoi ? P P p +(1) +1 4)Ende´duireet2. p=0 2p+1n=1n
De´veloppementsusuelsens´eriesentie`resautourde0. Pn x+x e= , n=0n! P2p +x cosh(x) =, p=0 (2p)! P2p+1 +x sinh(x,) = p=0 (2p+1)! P p2p +(1)x cos(x,) = p=0 (2p)! P p2p+1 +(1)x sin(x) =, n=0 (2p+1)! P +α(α1)...(αn+1) α n (1 +x) =1 +x, n=1n! P 1 +n =x, 1x n=0 P n+1n +(1)x ln(1 +x,) = n=1n P2n+1 +1.3....(2n1) n x arctan(x) =x+ (1) . n=1 2.4...(2n) 2n+1
2
Soyez le premier à déposer un commentaire !

17/1000 caractères maximum.