UTBM systemes asservis industriels 2006 imap

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ETUDE DU CONTROLE COMMANDE DU Nom: UV : SY40 SYSTEME DE POSITIONNEMENT D’UNE BUSE Final P06 SUR MACHINE DE DECOUPE PAR JET D’EAU Signature: Auteur : HANS T. Introduction et données techniques Introduction: Table Le sous système objet de l’étude fait partie d’une y supportant la machine à découper par jet d’eau. (en mm) buse La table supportant la buse doit se déplacer dans un 1000 plan horizontal repéré par les axes: { x , y } La dimension des pièces à découper impose une plage 500 de positionnement de la table égale à 0 - 1000 mm suivant x et suivant y. x Les déplacements de la table sont obtenus grâce à (en mm) deux moteurs à courant continu, actionneurs inclus 0 500 1000 dans deux boucles d’asservissement. Les entraînements sont réalisés par des courroies crantées. La partie commande de ces deux boucles d’asservissement est réalisée par une carte électronique à micro contrôleur. Les actions de contrôle-commande sont donc de type « échantillonné ». Dans la présente étude celles-ci seront assimilées à des actions "continues". C’est en fait une machine à commande numérique à deux axes. On étudie dans ce devoir uniquement la partie contrôle commande de l’axe X sur lequel est monté la buse. Eléments constitutifs de l’axe numérique objet de l’étude: Equipage mobile Codeur 0 X Incrémental 1000 (en mm) CI Ω , θ S sCarte électronique Im Poulie de contrôle libre en Poulie d’entraînement commande ...
Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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Auteur : HANS T.
Introduction et données techniques
Introduction:
Le sous système objet de l’étude fait partie d’une
machine à découper par jet d’eau.
La table supportant la buse doit se déplacer dans un
plan horizontal repéré par les axes:
La dimension des pièces à découper impose une plage
de positionnement de la table égale à 0 - 1000 mm
suivant x et suivant y.
Les déplacements de la table sont obtenus grâce à
deux moteurs à courant continu, actionneurs inclus
dans deux boucles d’asservissement.
Les entraînements sont réalisés par des courroies
crantées.
La partie commande de ces deux boucles d’asservissement est réalisée par une carte électronique à micro
contrôleur. Les actions de contrôle-commande sont donc de type « échantillonné ». Dans la présente étude
celles-ci seront assimilées à des actions "continues".
C’est en fait une machine à commande numérique à deux axes.
On étudie dans ce devoir uniquement la partie contrôle commande de l’axe X sur lequel est monté la buse.
Eléments constitutifs
de l’axe numérique objet de l’étude:
Données techniques:
Pour le moteur
- constante de couple
k
m
= 0.1 N.m/A
- constante de vitesse
k
v
= 1/ k
m
- résistance d'induit
R = 2
- inductance d'induit
L = 800 10
-6
Hy
- inertie du rotor
J
m
= 4.10
-6
kg.m
2
Pour l'entraînement
- diamètre poulie
D = 63,66 mm
Pour le codeur inc.
- nombre voies
2 en quadrature de phase
- nombre de fentes par tour et par voie: n
f
= 200
- inertie
J
ci
= 2.10
-6
kg.m
2
Pour le réducteur
- rapport de réduction
ρ
= (
s /
m) = (
θ
s
/
θ
m
) = 0.1
- inertie (coté moteur)
J
r
= 3.10
-6
kg.m
2
{
x , y
}
x
(en mm)
y
(en mm)
500
0
1000
500
1000
Table
supportant la
buse
UV : SY40
Final P06
ETUDE DU CONTROLE COMMANDE DU
SYSTEME DE POSITIONNEMENT D’UNE BUSE
SUR MACHINE DE DECOUPE PAR JET D’EAU
Nom:
Signature:
M
Equipage
mobile
Carte
électronique
de contrôle
commande
Courroie
crantée
Poulie d’entraînement
de diamètre noté D
Poulie
libre en
rotation
Réducteur de
rapport noté
ρ
Moteur à courant continu
de type « Brushless »
CI
Codeur
Incrémental
Um
Im
m
,
θ
m
S
,
θ
s
0
1000
X
(en mm)
UV: SY40
Devoir final P06
Page: 2
1- Modélisation des éléments de la boucle d'asservissement
Le capteur en position:
L'image de la position de l'équipage mobile résulte du comptage de toutes les transitions sur les deux signaux
issus du codeur incrémental (lui-même accouplé à l'arbre moteur). On note "M" (Mesure position) le résultat
de comptage.
Q1.1
Exprimer le coefficient de transfert de mouvement X /
θ
m
avec:
- X étant le déplacement linéaire du chariot exprimé en mm
-
θ
m
l'angle de rotation de l'axe moteur exprimé en rad
en fonction des grandeurs D (diamètre de la poulie d'entraînement exprimée en mm) et
ρ
(le rapport de
réduction du réducteur)
Q1.2
Exprimer le coefficient de transfert du capteur de position défini par
µ
= M/X
en fonction des
grandeurs n
f
, D et
ρ
Q1.3
Calculer la valeur de
µ
et en déduire la sensibilité du capteur (déplacement élémentaire en X qui
entraîne une incrémentation de M)
La charge mécanique:
Hypothèses:
On négligera les frottements visqueux (f ≈0) ainsi que les frottements secs (Cs ≈0). On ne tiendra donc
en compte que les inerties.
L'étude dynamique du système sera faite au niveau de l'arbre moteur.
Q1.4
Si on note Mc la masse (exprimée en kg) de l'équipage mobile en translation, en déduire l'expression
de sa contribution sur l'inertie ramenée au niveau de l'arbre moteur (exprimée en kg.m
2
).
Rappel: Propriété de la conservation de l'énergie cinétique:
L'énergie cinétique emmagasinée par la masse Mc à la vitesse linéaire V (en m/s)
(V= dX/dt)
Ec=(1/2) Mc.V
2
sera égale à l'énergie cinétique Ec= (1/2)Jc.
m
2
de l'inertie équivalente de
la charge(notée Jc) ramenée au niveau de l'arbre moteur, tournant à la vitesse de rotation
m
Jc
=
µ
=
X
(p)
θ
m(p)
=
A exprimer en fonction de
D,
ρ
et Mc
µ
X
M
µ
=
S
=
UV: SY40
Devoir final P06
Page: 3
Dans la suite on notera
J
l'inertie globale (somme de toute les inerties) au niveau de l'arbre moteur et on
prendra
J =
J
m
+
J
ci
+
J
r
+
J
c
=
24 10
-6
kg.m
2
Q1.5
Après avoir rappelé l'équation fondamentale de la dynamique pour un système à un seul degré de
liberté (la rotation), on appliquera cette loi à l'arbre moteur. On notera Cm
(t)
le couple moteur.
Q1.6
En déduire l'expression de la fonction de transfert définie
m(p)
/C
m(p)
L'interface de puissance + moteur + charge mécanique:
L'interface de puissance est un hacheur 4 quadrants qui
impose donc une tension moyenne aux bornes du
moteur (U
m
), proportionnelle à la grandeur de sortie du
régulateur numérique (Sr). On notera k
u
le coefficient
de transfert de cette interface (exprimé en V/inc) soit
u
m(t)
= k
u
. s
r(t)
u
m(p)
= k
u
. s
r(p)
On rappelle ci contre la constitution de la maille
électrique.
Schéma bloc et fonction de transfert en boucle ouverte
Q1.8
Compléter le schéma bloc ci-dessous
Sous certaines conditions (qu'il n'est pas demandé d'expliciter) on peut mettre la fonction de transfert en
boucle ouverte de l'asservissement en position sous la forme donnée ci-après, (forme et valeurs numériques
que l'on adoptera dans la suite du problème).
Expression générale
Application au système étudié
u
m(t)
i
m(t)
R
(Résistance d'induit)
L
(Inductance d'induit)
e
m(t)
= k
m
.
m(t)
(Force contre électromotrice)
k
u
(hacheur)
Sr
(t)
(Sortie
régulateur)
X
(p)
(en mm)
I
m(p)
(en A)
C
m(p)
(en N.m)
θ
m (p)
(en rad)
Sr
(p)
(en inc)
+
-
E
m (p)
(en V)
Régulateur
U
m (p)
(en V)
m(p)
(en rad/s)
M
(p)
(en inc)
Interface
Puissance
Moteur + charge mécanique
transmission
mouvement
Capteur
M
(p)
Sr
(p)
=
α
p(1+
τ
1
.p) (1+
τ
2
.p)
avec:
=
L
R
τ
2
=
0.4 m.S
=
J.R
k
m
2
τ
1
=
4,8 m.S
m(p)
C
m(p)
=
1
R+L.p
k
m
k
m
µ
UV: SY40
Devoir final P06
Page: 4
2. Etude en boucle fermée par correcteur à action "P"
Le système objet de l'étude peut, dans ce cas, se mettre sous la forme du shéma bloc ci-dessous:
On adoptera le changement de variable: k
o
= k.
α
Tracé des lieux d'Evans de la boucle d'asservissement (lieux des pôles de la FTBF lorsque le l'on fait
varier k (donc k
o
) entre 0 et l'infini
Q2.1
Combien y a-t-il de lieux et donner leurs points de départ.
Q2.2
Déterminer les différentes directions asymptotiques.
Q2.3
Déterminer le point de rencontre de ces asymptotes avec l'axe réel.
Q2.4
Déterminer les parties de l'axe réel qui appartiennent aux lieux.
Q2.5
Déterminer, s'il(s) existe(nt), le(s) point(s) de séparation(s)
Correcteur à action proportionnelle
X
(p)
(en mm)
+
-
M
(p)
(en inc)
C
(p)
(en inc)
1
µ
M
(p)
(en inc)
α
p(1+
τ
1
.p) (1+
τ
2
.p)
Sr
(p)
(en inc)
Consigne
k
ε
(p)
(en inc)
Ecart
Mesure
Position
UV: SY40
Devoir final P06
Page: 5
Q2.6
Tracer l'allure des lieux d'Evans
Fonction de transfert en boucle fermée
Q2.7
Exprimer littéralement (en fonction de ko,
τ
1,
τ
2,
µ
et p) la fonction
de transfert en boucle fermée et la mettre sous la forme donnée ci-contre:
(On exprimera tout d'abord M
(p)
/C
(p)
F.T.B.F. de la boucle à retour unitaire)
Im
(p)
Re
(p)
a
1
=
a
2
=
a
3
=
1/
µ
X
(p)
C
(p)
=
1+ a
1
.p + a
2
.p
2
+ a
3
.p
3
UV: SY40
Devoir final P06
Page: 6
Le tracé du lieu d'Evans montre que l'on peut mettre cette
fonction de transfert sous la forme donnée ci-contre
Q2.8
Exprimer (sous forme littérale), par identification terme à terme, le système de trois équations qui lie
les grandeurs ko,
τ
1,
τ
2,
ξ
F
,
ω
F
et
τ
F
Réglage de l'action proportionnelle pour un amortissement imposé
Q2.9
Déterminer quelle valeur particulière de k
o
permettra d'obtenir un coefficient d'amortissement
ζ
F
égal à 0,5 ? En déduire dans ce cas la valeur prise par
ω
F
et
τ
F
Q2.10
Mettre, si les conditions sont réunies, cette fonction de transfert sous une forme simplifiée.
Q2.
11 Déterminer la valeur de la consigne qui permettra d'obtenir un positionnement à X =20mm
ω
F
=
C
=
τ
F
=
1/
µ
(
1+ 2.
ξ
F
+
( ) )
(1+
τ
F
.p)
p
ω
F
p
ω
F
2
X
(p)
C
(p)
=
k
o
=
UV: SY40
Devoir final P06
Page: 7
Réponse à un échelon constant de la consigne qui permet un déplacement de 0mm à 20mm
Q2.12
Déterminer, d'après les abaques donnés en ANNEXE la valeur du dépassement sur la réponse en
position, en valeur relative puis en valeur absolue puis la position maximale atteinte.
Q2.13
Déterminer, d'après les abaques donnés en ANNEXE le temps de réponse à 5%
Comportement en déplacement à vitesse constante
Dans certains cas de découpe de pièces, la commande de l'asservissement suivant x doit imposer un
déplacement à vitesse constante, soit C
(t)
= C
V
.t.u
(t)
Q2.14
Montrer que, pour ce régime, la précision n'est pas assurée. L'équipage mobile suit avec une erreur
par rapport à la position théorique (appelée erreur de traînage) que l'on exprimera puis que l'on calculera
en mm pour C
V
= 5000 inc/s
D
r
=
D
r en %
=
D
a
=
X
MAX
=
t
r
5%
=
ε
Τ
=
X
=
UV: SY40
Devoir final P06
Page: 8
3. Amélioration du comportement par correcteur "P+D"
Afin d'améliorer le comportement en déplacement à vitesse constante on envisage à présent de remplacer le
correcteur à action proportionnelle de coefficient noté k par un correcteur à action proportionnelle + dérivée
de fonction de transfert:
Nouvelle fonction de transfert en boucle ouverte puis en boucle fermée
Q3.1
Montrer que les réglages choisis pour les constantes T et T ' entraîne une simplification de la
fonction de transfert en boucle ouverte: M
(p)
/
ε
(p)
En déduire, après avoir exprimé la nouvelle fonction de transfert en boucle fermée, les nouvelles expressions
des coefficients a
1,
a
2
et a
3
Etude de la stabilité
Q3.2
Montrer, à partir du critère de Mickaïlov, que le système peut devenir instable pour une certaine
valeur de k
o
= k.
α
(
valeur particulière notée k
oc
). On en déduira quelle sera la pulsation des oscillations en
régime instable (pulsation que l'on notera
ω
osc
)
Réglage de l'action proportionnelle pour un degré de stabilité usuel
Q3.3
Déterminer quelle valeur particulière de k
o
permettra de satisfaire une marge de gain de 12dB
k(1+T.p)
(1+ T '.p)
ε
(p)
(en inc)
Sr
(p)
(en inc)
On choisit T =
τ
1
et
T ' =
τ
2
(Compensation du pôle dominant)
a
1
=
a
2
=
a
3
=
k
oc
=
ω
osc
=
k
o
=
UV: SY40
Devoir final P06
Page: 9
Q3.4
Déterminer, pour ce réglage, la valeur de la marge de phase. On déterminera préalablement la valeur
de la pulsation pour laquelle le module de la F.T.BO. vaut 1 (pulsation notée
ω
1
)
Amélioration du comportement en déplacement à vitesse constante soit C
(t)
= C
V
.t.u
(t)
Q3.5
Montrer que, pour ce régime, l'équipage mobile suit avec une erreur par rapport à la position
théorique (appelée erreur de traînage) que l'on exprimera puis que l'on calculera pour C
V
= 5000 inc/s
Q3.5
Conclure sur l'influence de l'action dérivée.
Mφ =
ω
1
=
ε
Τ
=
X
=
UV: SY40
Devoir final P06
Page: 10
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