UTBM techniques mathematiques pour les sti stl 2006 tc

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le 19 Janvier 2007 UTBM PM18M¶edianCalculatrices interdites. Le seul document autoris¶e est une feuille A4recto-verso r¶edig¶ee µa la mainChaque exercice doit ^etre r¶edig¶e sur une feuilledifi¶erenteIl sera tenu compte dans la correction de la ...

Publié le : jeudi 21 juillet 2011
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le 19 Janvier 2007UTBM PM18 M´edian Calculatricesinterdites.Leseuldocumentautoris´eestune feuille A4 recto-versore´dig´eea`lamain Chaqueexercicedoitˆetrer´edig´esurunefeuille die´rente
Ilseratenucomptedanslacorrectiondelapr´esentationetdelare´dactioncorrectedes d´emonstrations.
Exercice 1- 10 points 1)D´eterminer,danschacundescassuivants,lesensemblesdepoints: |a5| a -{aR,= 1}, |a+5| |z5| b -{zC,= 1}, |z+5| |x5| 2 c -{(x, y)R,= 1}, |y+5| 2)Discutersuivantlesvaleursduparam`etremRleel´esrneciradeerbmonel,dsse e´quationssuivantes(Pr´eciserdansquelscascespolynˆomesontdeuxracinesdistinctesde signeoppose´): 2 a -(m3)x+ (2m1)x+m+ 2 = 0, 2 b -mx2(8m+ 1)x+ 4(4m+ 1) = 0. x.sin(x) 3)De´riversurRe´noidnnotclfariepaf(x) =e.
Exercice 2(NOUVELLE FEUILLE) - 6 points 1) En quoi le raisonnement suivant est-il faux? SoitP(n)oppr´eert´ilanemeclamˆur.ouleossrueluedsuottnraccodensyo *P(1)e.tscerarvialeurquelui-mˆemetseraledmeˆmuocecrunonaycodeeuul * SupposonsP(n). Soitn+ 1crayons. On en retire1. Lesncrayons restants sont de lameˆmecouleurparhypoth`eseder´ecurrence. Reposons ce crayon et retirons-en un autre; lesnuveauxcrdeauno`tnauoevyanossno lameˆmecouleur.Lepremiercrayonretire´´etaitdoncbiendelameˆmecouleurquelesn autres. La proposition est donc vraie au rangn+ 1. *Onadoncde´montre´quedescrayonsdecouleursonttousdelamˆemecouleur. 2)D´emontrerparre´currencequ`apartirdenresi,)apnoce´rd(anelqussagrez n 2> n+ 1. TOURNER LA PAGE SVP
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Exercice 3(NOUVELLE FEUILLE) - 8 points
Le but de cet exercice est de montrer qu’il existe des ensembles de nombres rationnels quiontunebornesupe´rieurenonrationnelle. Siunequestionposeproble`me,admettreler´esultatetpasser`alasuivante! 1) Montrer que 2 n entier impair=n entierimpair. 2 Cequid´emontreparlameˆmeoccasion,parcontrapos´ee,n entierpair=n entier pair. √ √ p 2) on veut montrer que26∈Q, c.a.d. que2 =avecp, qZest impossible. q p On suppose que2 =plimase`ttui(qpuopo,snap2rirequeserapouqest impair). q a-Montrerque,aveccettehypoth`ese,onauraitppair (utiliser le 1). b-End´eduirequonaurait´egalementqpair. p c-End´eduireque2 =est impossible. q ´ QUESTIONS SUPPLEMENTAIRES : 3) SoitE(.)e(eri`nteetiarapl.c.a.dxR, E(x) =max{nZ, nx}”le plus grand entierinfe´rieurou´egal`ax”). n E( 2.10 ) Onconside`relensemble{a0, a1, a2, ..., an, ...}avecan=n. 10 a - Sachant que2 = 1.414213562..., calculera0, a1, a2, a3 b - conclure.
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