1M1 Math Systemes dynamiques TD4

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1M1 Math 2008/09. Systemes dynamiques. TD4 Exercice 1 (Equation linearisee du pendule : II) On considere l'equation differentielle lineaire du second ordre x?? = ?a2 x avec a > 0 (1) 1 Donner la solution generale de cette EDO. En deduire la solution unique du Probleme de Cauchy pour (1), avec une donnee initiale arbitraire : x(t0) = x0, x ?(t0) = x1, (2) et montrer que les solutions non constantes sont periodiques de periode T = (2pi)/a. 2 Retrouver ces resultats en ecrivant (1) comme un systeme du premier ordre X ? = AX, (3) ou X := (x, y). et en appliquant Cauchy-Lipschitz. Peut-on affirmer a priori que la solution est definie globalement ? Resoudre explicitement (3) en diagonalisant la matrice A ( ?)et montrer qu'en fait toutes les solutions de sont periodiques et donc definies pour tout temps. 3 On pose H(X) = H(x, v) := 12 (v 2 + a2x2). Montrer que la fonction : t ? E(t) := H(x(t), v(t)) est invariante au cours du temps : on dit que le systeme (3) est conservatif, et que H est une integrale premiere de (3).

  • probleme de cauchy

  • trajectoires decrites par les solutions maximales

  • donnee initiale

  • solution maximale

  • modele de dynamique des populations de proies et de predateurs


Publié le : mardi 19 juin 2012
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M1Math2008/09.Syste`mesdynamiques.TD4 Exercice1(Equationline´aris´eedupendule:II) Onconside`rel´equationdi´erentielleline´airedusecondordre 002 x=a xaveca >0 (1) 1ulosnoitnnoDalredelettceeng´ra´erilee´udE.dnEeODquednuniutioasolu Proble`medeCauchypour(1),avecunedonne´einitialearbitraire: 0 x(t0) =x0, x(t0) =x1,(2) etmontrerquelessolutionsnonconstantessontpe´riodiquesdep´eriodeT= (2π)/a. 2t(anco1)´eenivcrlusestatcrev´rsedreremieror`tmedepummuesnsyrtuoeR 0 X=A X,(3) ou`X:= (x, y). et en appliquant Cauchy-Lipschitz. Peut-on affirmer a priori que lasolutionestde´nieglobalement?R´esoudreexplicitement(3)endiagonalisant la matriceAqieuirdopte´senosetertrequainfouttlsetosseituldsno?(e)mtno doncd´eniespourtouttemps.
1 22 2 3On poseH(X) =H(x, v) :=(v+a x). Montrer que la fonction : 2 tE(t) :=H(x(t), v(t)) est invariante au cours du temps : on dit que le syst`eme(3)estconservatif,etqueHseutu-re`i(edeR.)3orteinneegt´leraempr ver ainsi, sans utiliser la forme explicite des solutions, que toute solution locale de(3)estborn´eeind´ependammentdutemps.Quend´eduisez-vous?Physique-ment,E(ttnliq´ueetnoetrgiem´)eecsateqieulpla(eic´nlliedue)pousntte.tsyseme`
4Cette question est une reformulation de la question 2. On pose maintenant 0 x=a yetY(t) := (x(t), y(t)).Ecrirelesyst`emideere´eitnnillai´edureemprrie ordre 0 Y=M Y,(4) ve´rie´parY(.) := (x(.), y(.)) et montrer que la matriceM.eu´eymiqtraenst-sti Quels sont ses valeurs propres et ses vecteurs propres? Calculer la matrice exp (tM).
5On noteZ=Y0´eng´eomiqtruetellsnarmrofoitaQ.eu(e)4ladeinit´eeidonnla corresponda`lapplicationZ7→exp (tM)Z?
Exercice 2 Cet exercice de proies et repre´sentela
(Lotka-Volterra) apourobjetle´tudedunmod`elededynamiquedespopulations depre´dateurs.Lunedesdeuxfonctionsinconnuesx(t) ouy(t) concentration en proies (sardines?) et l’autre la concentration en
2
pre´dateurs(requins?)`alinstanttcednopseloveoituslapuontieCom.de´`dle estlesyste`medi´erentiel: 0 x=x(1y), (5) 0 y=y(x1).
1celleestdeuxedesmmoCz-te´eprernttienemidtse`ecysovsuuellel?Qenti´er fonctionsxouyenoitarttade´rpnneigesd´ennccolaqiueurs?
2neecixtseme?icosa`e´ysece`ts`ebldemeucCaashyovsuideruslrpeorQuepouvez-locale,globale,unicite´,e´tat(s)de´quilibre? 3olesR´plemdeesedsexexuahcsdnucur(5)danCauchypolbe`emedevczpeor   x(0) = 0x(0) =x00 conditions initiales :, ou. y(0) =y00y(0) = 0 4Soientx0>0,y0>0. a) Montrez que la solution maximale de (5) partant de (x0, y0)a`t=v0e´ire,pour touttde son intervalle maximal,x(t)>0 ety(t)>0. b)Montrezquilexisteuneinte´gralepremi`erede(5),i.e.unefonctionF +2 d´eniesur(Rque la solution maximale de (5) partant de () tellex0, y0)`a tei0=re´vF(x(t), y(t)) =Co`uCxe´naetnotsnuceestsontidionsclearep initiales. +2 5esous-domainessusndie`erelqsaurtocnOnaviedst(R) : +2 +2 A={(x, y)(R)>t.q. x1>, y1}, B={(x, y)(R)<t.q. x1>, y1}, +2 +2 C={(x, y)(R)t.q. x<1, y<1}, D={(x, y)(R)>t.q. x1<, y1}. a) On suppose quex01, y0>1. Montrez que la solution maximale de (5) partant de (x0, y0)`at=0esdoneec´hreldatredAen temps fini. b)Quelestlecomportementulte´rieurdecettesolutionmaximale? 6Soientx0>0,y0>0. Montrez que la solution maximale de (5) partant de (x0, y0)`at.qieuirdopte´=0es 7lrapsetirce´dseroictjerastleezac.)rTlaseed5(onsmaximessoluti
Exercice SoitHune n surRi.e. convexe :
3 (Courbes de niveau d’une fonction convexe) 2n fonction de classeCdeRdansR. On suppose queH queH(x)+quand||x|| →+, et queHest
est coercive strictement
x, y,λ[0,1], H(λx+ (1λ)y)λH(x) + (1λ)H(y),
o`uline´galite´eststricte,saufsix=youλ= 0 ou 1.
3
n 1On rappelle qu’alorsHostnninateeiettmsmuurtminor´eesR, i.e. n n m:=inf{H(x), xR}>−∞etxR;H(x) =m:mest donc le minimum etxest un (l’unique carHest strictement convexe) point de mini-n mum pourHsurR.
Lade´monstration,ycomprisendimensioninnie,estunr´esultatfondamen-tal du calcul des variations. Dans cet exercice on pourra soit l’admettre soit la rede´montrerendimensionnie,enmontrantparlabsurdequetoutesuite mi-k k nimisante, i.e. toute suite (x) telle queH(x)mquandk+etsobnre´e n dansR, et qu’on peut donc en extraire une sous-suite convergente, dont on notexla limite.
n 2Montrer que pour toutxR, on a : {x=x} ⇔ {H(x) =m} ⇔ {rH(x) = 0}.
3Montrer que pour toutα > m, l’ensembleCα:={x;H(x)c}est un en-n sembleconvexeferme´,dinte´rieurnonvide,deR,droaftloneere`itnΓtsα= 1 H({α}) :={x;H(x) =c}.
4AliaedudhTe´`eordemeonsfioctmisncilpsetiver(e,emr`eoh´eTcede´cnone´lrio etlerˆoledelacondition:rH(x)6= 0 en tout point de la courbe), montrer que 2 pour toutα, Γαest une courbe de classeC. Finalement, montrer que cette courbeestunecourbeferme´e.
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