1Une Introduction aux Modeles de Depots

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1Une Introduction aux Modeles de Depots Un premier modele source substrat . modele discret . p depot par site et par unite de temps hi(t + ∆t) = hi(t) + p∆t . apres N pas de temps et t = N∆t < hi(t) >= pt < [hi(t)? < hi(t) >]2 >= p(1? p)t . Dans la limite continue ∂h(x, t) ∂t = p + ?(x, t) Remarque: Les atomes se superposent sans laisser de cavites

  • introduction aux modeles de depots

  • flux moyen

  • droites horizontales

  • loi d'echelle

  • translation temporelle

  • inversion de l'axe horizontal

  • ?x ?


Publié le : lundi 18 juin 2012
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1
` ´Une Introduction aux Modeles de Depots
Un premier mod`ele
. mod`ele discret
source
. pd´epotparsiteetparunit´edetemps
h (t+Δt) =h (t)+pΔti i
. apr`es N pas de temps et t =NΔt
<h (t)>=pti
2< [h (t)−<h (t)>] >=p(1−p)ti i
substrat
. Dans la limite continue
∂h(x,t)
=p+η(x,t)
∂t
Remarque: Les atomes se superposent sans laisser de cavit´es
2
1000
800
600
400
200
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 20 40 60 80 100
x
Mod`ele discret : d´epˆot al´eatoire avec 2000 atomes d´epos´es entre chaque courbe sur un syst`eme de
longueur 100. Les droites horizontales sont trac´ees pour h(x) = 200∗i (moyenne pour le trac´e i) et

h(x) = 200∗i± 200∗i.
h(x)3
Caract´erisation de la croissance
. hauteur moyenne : d´epend du flux
. rugosit´e w : ´ecart type de la hauteur
ln(w)
loi d’´echelle :
saturation β. w∼ t pour t petit,
pente α. w∼ L pour t grand.
α zw(L,t)∼ L f(t/L )
αln(t ) x ln(t) avec z =
β
b4
Mod`eles Continus
∂h(x,t)
= termes de relaxation + flux moyen + bruit
∂t
∂h(x,t)
=F(h,x,t)+η(x,t)
∂t
Contraintes : invariance par
n∂
. translation temporelle t→t+t ⇒0 n∂x
n∂
. translation horizontale x→ x+x ⇒0 n∂x
n. translation verticale x→x+h ⇒ ∇ h0
n 2p+1. inversion de l’axe vertical h→−h ⇒ (∇ h)
2n. inversion de l’axe horizontal x→−x ⇒ ∇ h
L’´equation la plus simple compatible avec ces sym´etries est celle d’Edward-
Wilkinson :
∂h(x,t) 2=ν∇ h+η(x,t) (EW)
∂t5
Exposants et arguments d’´echelle
β α zLa loi d’´echelle suppose : w∼t , w∼L , t ∼ L .x
On cherche une loi d’´echelle entre h (w) et x (L) et entre t et x (L).
δ μ γ¯¯On pose : t =a t, x =a x¯, h =a h
¯ dμ−δ∂hγ−δ γ−2μ 2 −¯ 2dans (E-W) : a = a ν∇ h + a η¯
¯∂t
avec d la dimension de x (du substrat). Cette ´equation est invariante si :
dμ−δ
γ−δ =γ−2μ =−
2
d’ou`
2−d
δ = 2μ et γ = δ
4
soit
δ γ d γ 2−d
z = = 2, α = = 1− et β = =
μ μ 2 δ 4
1 1
Pour d = 1 : z = 2, α = et β =
2 46
Kardar-Parisi-Zhang
∂h(x,t) λ2 2= ν∇ h+ |∇h| +η(x,t) (KPZ)
∂t 2
Argument physique :
h(x,t)
h
U
h
U| h|
x
U2 2 1/2 2Δh = [U +(U|∇h|) )] =U + |∇h| +...
2
avec U =F Δt hauteur d’atomes d´epos´es pendant Δt :
F 2Δh = (F + |∇h| )Δt
2
Exposants et arguments d’´echelle (d=1) :
3 1 1
z = , α = et β =
2 2 3
D
DD7
M´ethodes de Monte Carlo
A. Family Model : d´epˆot et saut inconditionnel vers le site voisin le plus bas.
B. Wolf-Villain Model : d´epˆot et saut vers le site voisin qui maximise le nombre de liens.
C. Das Sarma-Tamborenea Model : d´epˆot et saut vers 1 site qui augmente le nombre de
lien. La particule d´epos´ee est bloqu´ee si elle poss`ede un voisin.
D. extension du DS Model
E. Lai-Das Sarma Model : d´epˆot et saut vers le site voisin qui augmente les liens et diminue
le saut.
F. Kim-Das Sarma Model : d´epˆot et saut dans le sens de la courbure locale ...
G. Stochastic Model : d´epˆot ou saut suivant un param`etre (temp´erature).
H. Ballistic Deposition Model.
→ calcul des exposants α, β, z pour chacun de ces mod`eles.8
Stochastic Solid On Solid Method
. d´epot avec un flux F
. relaxationdel’atomeidelasurfaceavecuntauxR =Kexp(−E/kT),i i
E d´epend du nombre de voisins de i.i
Algorithme
1. liste des ´ev`enements possibles
2. calcul des probabilit´es des ´ev`enements
3. choix d’un ´ev`enement (d´epot ou d´eplacement)
3.a. d´epot : choix d’un site
3.b. relaxation : choix d’un atome pouvant subir le d´eplacement
4. go to 1

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