A PROPOS DES SPHERES SOUS RIEMANNIENNES

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A PROPOS DES SPHERES SOUS-RIEMANNIENNES L. RIFFORD Abstract. Nous demontrons qu'en l'absence de courbe minimisante singulilere, la fonction distance sous-riemannienne, localement lipschitzi- enne hors de la diagonale, verifie un theoreme de Sard. On en deduit que les spheres sous-riemanniennes sont des hypersurfaces lipschitziennes pour presque tout rayon dans dSR(q0, Q). Abstract. We prove that, in absence of singular minimizing curve, the sub-riemannian distance function is locally Lipschitz outside the diagonal and satisfies Sard's theorem. Hence we deduce that the spheres are Lipschitz hypersurfaces for almost every radius in dSR(q0, Q). 1. Introduction Nous avons demontre recemment dans [6] que pour toute variete riemanni- enne lisse et tout point fixe sur celle-ci, presque toutes les spheres geodesiques centrees en ce point sont des hypersurfaces lipschitziennes de la variete ; l'objectif de cette note est de montrer que, sous de bonnes hypotheses, ce resultat reste vrai dans le cas sous-riemannien. 2. Preliminaires Pour tout complement sur les notions introduites dans ces preliminaires, on renvoie le lecteur aux deux textes [4] et [5]. 2.1. Structures sous-riemanniennes. Soit Q une variete connexe C∞ de dimension n. Une structure sous-riemannienne sur Q correspond a la donnee d'un couple (D, g), ou D est une distribution satisfaisant la condition du rang, et ou g est une metrique riemannienne sur D.

  • point critique de l'application entree-sortie

  • courbe ? ?

  • infimum des carres des normes l2 des courbes horizontales

  • theoreme de sard

  • application entree-sortie


Publié le : lundi 18 juin 2012
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` ` A PROPOS DES SPHERES SOUS-RIEMANNIENNES
L. RIFFORD
Abstract.onsqontrlabuendeceescnmeniuobrteanisimsuoNme´d singulile`re,lafonctiondistancesous-riemannienne,localementlipschitzi-ennehorsdeladiagonale,v´erieunth´eore`medeSard.Onende´duitque lessph`eressous-riemanniennessontdeshypersurfaceslipschitziennes pour presque tout rayon dansdSR(q0, Q).
Abstract.We prove that, in absence of singular minimizing curve, the sub-riemannian distance function is locally Lipschitz outside the diagonal and satisfies Sard’s theorem.Hence we deduce that the spheres are Lipschitz hypersurfaces for almost every radius indSR(q0, Q).
1.Introduction Nousavonsde´montr´ere´cemmentdans[6]quepourtoutevarie´te´riemanni-ennelisseettoutpointx´esurcelle-ci,presquetouteslessph`eresg´eod´esiques centr´eesencepointsontdeshypersurfaceslipschitziennesdelavari´ete´; lobjectifdecettenoteestdemontrerque,sousdebonneshypoth`eses,ce re´sultatrestevraidanslecassous-riemannien. 2.serianimile´rP Pourtoutcomple´mentsurlesnotionsintroduitesdanscespre´liminaires, on renvoie le lecteur aux deux textes [4] et [5]. 2.1.Structures sous-riemanniennes.SoitQonecxenerivat´´euenCde dimensionnstructure sous-riemannienne sur. UneQdola`andpoesrrcoee´nn d’un couple (D, g)o,u`Dest une distribution satisfaisant la condition du rang,eto`ugmee´tsnueuirrtqinienemanrnesueD. On rappelle qu’une distribution surQalceessrotcdleibr-ve´euenstusso CdeT Q, et que celle-ci satisfait la condition du rang si, pour toutqQ, Lie(D)[q] =TqQ. 2.2.Courbes horizontales.Une courbe horizontale (sur [0,1]) est une courbe absolument continueγ: [0,1]Qtelle que pour presque tout t[0,1], γ˙ (t)∈ D[γ(t)]. Pourchaque pointq0sedanx´Q, l’ensemble des 2 courbes horizontalesγvalantq0pourt= 0 et dont la normeLr,de´neiap s Z 1 g,q0 kγk:=g(γ˙,˙γ)dt 2 0 estnie,estunevarie´te´hilbertiennedeclasseC; on la note Ωq0. Universit´edeParis-Sud,D´epartementdeMath´ematiques,Baˆtiment425,91405Orsay cedex, France (Courriel:ludovic.rifford@math.u-psud.fr). 1
2 L.RIFFORD q0,1 2.3.eiLe´-eostrontitrenppacaliE.-ee´rtnenoiteapplicaOnappell sortie au pointq0ntteecitapalp,1lmespriepa´eniond q0,1 E: Ωq0−→Q γ7γ(1). Cette application est de classeCsur Ωq0eL.e`roe´htykmedeChow-Rashevs peutse´noncerdelamani`eresuivante. Th´eor`eme2.1.SiDest une distribution satisfaisant la condition du rang, q0,1 alors pour toutq0Q, l’applicationEest ouverte. Ilnestpasdiciledede´duiredecere´sultatquesiladistributionD satisfait la condition du rang, alors pour tout couple de points (q0, q1) dans Q, il existe une courbeγΩq0telle queγ(0) =q0etγ(1) =q1. Une courbeγΩq0ugilsenidatisreitunsagsil`ereuqitedeniopirct q0,1q0,1 lapplicationentre´e-sortieE,rieoinrleisni´leaacppelsitc`aatidTγE: TγΩq0Tγ(1)Qn’est pas surjective. 2.4.La distance sous-riemanniennedSR(,).La longueur d’une courbe γΩq0ndot´sneeeapr Z 1 p g,q0 long (γ) :=g( ˙γ(t), γ˙ (t))dt(≤ kγk<). SR2 0 Pour tout couple de points (q0, q1) dansQ-´en,ondtsidaltisuosecna riemannienne deq0a`q1´ementtaomclsedugnonilmumourbeseursdesc horizontalesappartenanta`Ωq0et valantq1pourt= 1 ; on la notedSR(q0, q1). Dapre`slethe´or`emedeChow-Rashevsky,siladistributionDsatisfait la con-ditiondurang,alorsladistanceestbien-de´nieetcontinuesurQ×Q. Dans cecas,latopologied´enieparladistancesous-riemanniennesurQcoincide aveclatopologieded´epartsurQplus, si. DeQmunie de cette distance de´nitunespacecomplet,alorspourtoutcoupledepoints(q0, q1) dansQ il existe une courbeγΩ reliantqa` q00q1telle que longSR(γ) =dSR(q0, q1) ; une telle courbe est dite minimisante. Onsupposea`partirdemaintenantquelavarie´t´eQest munie d’une structure sous-riemannienne (D, g,quelle)e`etoprusectmolpnatsidalec sous-riemanienneassocie´e,etquaucunecourbeminimisantenontriviale nestsinguli`ere. 2.5.L’application exponentielle exp.nEaftip,ralnie´galit´edeCauchy-q0 Schwarz,lescourbesminimisantesparame´tr´eesparlalongueursontexacte-2 ment les courbes qui minimisent la normeL. Doncsi, pour tout cou-ple de points (q0, q1) dansQ, on note pareSR(q0, q1umdeinm)l´rsecsra 2 des normesLdes courbes horizontales reliantq0etq1, on adSR(,) = p eSR(,). Commeonsupposequilnyapasdesingulie`reminimisante,toutecourbe 2 minimisant la normeLrojetlapnductiose-hpmalimalemachduexne´etr −→ 1∗ ∗ tonienHdeH=g,o`uge´rtqieuseltcamodegil existe un ouvert. Ainsi 2 −→ PdeT Qtel que pour toutp0∈ Plpamdaeh´crumaehneoetiximtllnH q0 avec condition initiale (q0, p0)n´etdes0r[suie,1] et tel que si l’on noteγp0
` ` A PROPOS DES SPHERES SOUS-RIEMANNIENNES3 laprojectiondecetteextre´malesurQ, alors on a g,q0 qQ, dSR(q0, q) = min{kγpkpourp0∈ P}. 02 L’application exponentielle exp:P →Qcalionti´eteocmmappnaltesnietd´e q0 qui`ap0∈ Passocieexpq0(p0) :=γp0(1). 3.e-´rrioeem`aenmneideanSnedroprualidtsnaecUonstshu 3.1.liraess´CldekeararGneid´gste´ne.Soitf:QRune fonction lo-calement lipschitzienne surQpra.Dh´etsl`elleehureneteRademaceor`emed fonctionestpresquepartoutdie´rentiablesurQ, notonsDfl’ensemble des points deQ`uoftruoP.elbaitnere´distetuoqQl,argeneid´etgern´isal´e de Clarke defau pointq,not´e∂f(q),estedine´de`inamalanivsure:te   0 ∂f(qlim) := convTqfou`qDf. 0 0 qq Par construction, pour toutqQ, l’ensemble∂f(q) est un convexe compact non-vide deT Q. Onappelle point critique deftout point deQtel que 0q ∂f(q) et on noteCfl’ensemble des points critiques defdansQlees`rpaD. th´eor`emedesfonctionsimplicitesnon-lisse,siqn’est pas un point critique 0 0 defalors l’ensemble de niveau{qQtel quef(q) =f(q)}est localement une hypersurface lipschizienne deQ. Onrenvoie le lecteur au livre [3] pour unee´tudede´tailleedugradientge´n´eralis´edeClarke. Pour finir, nous dirons quef:QRcolmelaltnesciptzhinnie´eevireel the´ore`medeSardsilensemblef(Cf) est de mesure nulle dansR. ´ 3.2.h´eoedutonc´En.e`rme The´ore`me3.1.SoitQneurivaexen´te´noceCde dimensionnmunie d’une structure sous-riemannienne(D, g)et`lpm,eteeelloctsaquelleepourl q0tinedx´pounnasQ. Siaucune courbe minimisante issue deq0n’est singulie`re,alorslafonctiondSR(q0,)est localement lipschitzienne surQ\ {q0}´vteireteler`emh´eoard.edeS Parleth´eore`medesfonctionsimplicitescite´plushautonobtientcomme corollaireque,souslesmeˆmeshypoth`eses,pourpresquetoutrdSR(q0, Q) lasph`eresous-riemannienneSSR(q0, renlmbsedelesdirest`a(ce)qQ tels quedSR(q0, q) =r) est une hypersurface lipschitzienne deQ. 3.3..uvrePoe´htude1.3eme`rh´eoLete3.1r`emfniaseetcnno´esqletecua dure´sultatsuivant,corollairede[6,Theorem3]. N n Lemme 3.2.SoitV(resp.W) un ouvert deR(resp. deR). Soit ∞ ∞ f:V → Wune submersion de classeCetg:V →Rde classeC. Soit Φ :W →Rarepni´de x∈ W,Φ(x) := inf{g(v)avecv∈ Vtel quef(v) =x}. Si pour toutx∈ Wil existe un voisinageWxdex(dansW) et un compact 0 0 KxdeVtel que pour toutx∈ Wxe´nlsdadmnanumilndeitioΦ(x)est atteint surKx, alors l’applicationΦest localement lipschitzienne surWet ve´rielethe´or`emedeSard.
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