ALGÈBRE

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Fiche élève Cayla 2004-2005 Algèbre 9e Fiche 9.4.001 ALGÈBRE Vocabulaire • Le calcul avec des lettres et des nombres s'appelle le calcul littéral. • Lorsqu'on utilise une lettre pour symboliser une grandeur, on sous-entend que sa valeur numérique n'est pas fixée. On dit que cette lettre est une variable. Elle est souvent désignée par les lettres x, y, ou z. Pour préciser sa valeur numérique, on utilise le signe « = ».
  • signe de la multiplication
  • rappel des propriétés des opérations réduire
  • distributivité de la multiplication sur l'addition
  • propriétés des puissances
  • monômes
  • equation
  • équation
  • équations
  • equations
  • propriété
  • propriétés
  • ecritures
  • écritures
  • ecriture
  • écriture
  • produits
  • produit
Publié le : lundi 26 mars 2012
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Fiche 9.4.001

ALGÈBRE

Vocabulaire

• Le calcul avec des lettres et des nombres s'appelle le calcul littéral.

• Lorsqu’on utilise une lettre pour symboliser une grandeur, on sous-entend que sa valeur numérique
n’est pas fixée. On dit que cette lettre est une variable. Elle est souvent désignée par les lettres x,
1
y, ou z. Pour préciser sa valeur numérique, on utilise le signe « = ». Exemple : x= 2,5 ; y = etc. 3

• Exprimer un résultat « en fonction d’une variable », c’est trouver une expression mathématique
où figure cette variable. On appelle cela aussi une expression littérale ou une formule.

Exemple : J’ai choisi un nombre x. Je l’ai triplé puis j’ai ajouté 5. J’ai trouvé un nombre.
L’expression du résultat en fonction de x est 3 • x + 5

x5
Illustration géométrique :


• Dans l’exemples ci-dessus, pour obtenir une valeur numérique de l’expression, on substitue un
nombre à la variable, c’est-à-dire, on remplace la variable par un nombre. Ainsi on peut effectuer
des calculs.
Exemples : pour x = 0 le résultat est 3 • 0 + 5 = 0 + 5 = 5
pour x = 7,2 le résultat est 3 • 7,2 + 5 = 21,6 + 5 = 26,6
etc.

Egalité
Le signe « = » se lit « est égal à ».
Une égalité peut être toujours vraie, parfois vraie et parfois fausse, ou toujours fausse.
Une égalité qui est toujours vraie s’appelle une identité.

Exemples :
1) L’égalité 3(y+2) = 3y+6 est toujours vraie C’est une identité.



2) L’égalité 2y – 3 = 5 est vraie pour y = 4, C’est une égalité qui peut être

sinon elle est fausse. vraie ou fausse selon la valeur

de y.

c’est une équation.



3) L’égalité 3(y+2) = 3y +2 est toujours fausse. C’est une fausse égalité.


Attention : Pour prouver qu’une égalité n’est pas une identité, il suffit de trouver une valeur pour
laquelle cette égalité n’est pas vraie. On appelle cette valeur un contre-exemple.

eFiche élève Cayla 2004-2005 Algèbre 9 Fiche 9.4.002

Écriture d’une expression littérale

Définitions : • Une expression littérale est une écriture mathématique qui contient une ou plusieurs
lettres.
2x3
Exemples : x ; 2•(y + 5) ; 2a +b ; … sont des expressions littérales.
3
4y
Conventions : Pour alléger les expressions littérales, on peut supprimer le signe de la multiplication
entre :
- deux lettres : a • b = ab
- un nombre et une lettre : 4,5 • x = 4,5 x
- un nombre et une parenthèse : 3 • (a + b) = 3 (a + b)
- une lettre et une parenthèse : a • (2 + b) = a (2 + b)
- deux parenthèses : (2 + b) • (a + b) = (2 + b)(a + b)

2
Définition : • L’expression 3a b est le produit d’un nombre et des lettres. On appelle cette
expression un monôme.
2x 4Exemples : ; 1 ; x ; ab c ; …
4
sont des monômes.

12 3 3
a + b ; 2c(a + b) ; (x - y)(x + y) ; ;…
x
ne sont pas des monômes.

2• Pour le monôme 3a b 3 est le coefficient numérique,
2 a b est la partie littérale.
2x 1
Exemples : pour le monôme - − est le coefficient numérique,
4 4
2 x est la partie littérale.

pour le monôme xy 1 est le coefficient numérique,
xy est la partie littérale.


Remarque : On écrit le coefficient numérique avant la partie littérale et on écrit les
lettres par ordre alphabétique.
2 2 3
Exemple :L’écriture conventionnelle de l’expression 2x 5xy est 2•5 x x y = 10 x y


• Deux monômes sont semblables si ils ont la même partie littérale.

• Une somme de monômes non semblables s’appelle un polynôme.
x2 3 4 Exemples : x + 4x + 5 ; 4a + 3ab ; + 2x y ; … sont des polynômes.
3


eFiche élève Cayla 2004-2005 Algèbre 9 Fiche 9.4.003

Rappel des propriétés des opérations

Réduire une expression littérale c’est l’écrire de la manière la plus simple possible en utilisant des
identités et des propriétés.



n• Simplifications d’écriture : a + a + ………..….. + a = n • a a • a • ………..….. • a = a

ntermes nfacteurs

0a
• Propriétés de 1 et de 0 : 1 • a = a 0 • a = 0 = a = 0 (a ≠ 0) a1

• Commutativité et associativité de l’addition et de la multiplication :

a + b = b + a ( a + b ) + c = a + ( b + c )

a • b = b • a ( a • b ) • c = a • ( b • c )

• Propriétés des puissances :
ma
p s p+s m t m•t k k k m-n a • a = a ( a ) = a a • b = ( a • b ) = a na




Exemples : 1) C + C + C = 3 • C = 3C
32) C • C • C = C
42 4+2 63) x x i = x = x
4 24i 82 y y4) = = ( y )
7a 7- 4 35) = = aa4a

eFiche élève Cayla 2004-2005 Algèbre 9 Fiche 9.4.004

Opérations avec des monômes

• Somme et différence de monômes
Dans une addition ou une soustraction de monômes, la réduction se fait uniquement entre monômes
semblables.
2 2 2 2
Exemples : xy + 3x y + 2xy – 6x y = xy + 2xy + 3x y – 6x y

2
= 3 xy – 3 x y
1 1 1 12 2 2 2
x y + 6x2y – x y = ( x y – x y ) + 6•2•x•y
3 6 3 6
1 2
= x y + 12 xy
6
1 6 7 182 2 2 2
-7 + x - x + 4 = x - x - 7 + 4
3 7 21 21
11 2
= - x - 3
21
• Produit et quotient de monômes
Pour multiplier des monômes, on multiplie les coefficients entre eux et les parties littérales entre
elles. On fait de même pour la division.
Pour réduire le résultat on utilise les propriétés des puissances :
ma
p s p+s m t m•t k k k m-na • a = a ( a ) = a a • b = ( a • b ) = a n
a
Exemples :
2 31) (-2a b) • (-5ac) = 10 a bc
1 3311⎛⎞11⎛⎞ ⎛⎞ 2222 - a b - • • a • a • b • b 2) - a b • a b = = ⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟ 623⎝⎠23⎝⎠ ⎝⎠
44821023) 9 ii3 = ( ) 3 = 3i 3 = 3 3
4444 ( 7 i )2 4) 7 1 i 2 = = 4
2 x2x y 2 • x • x • y
5) = = pour x, y ≠ 0
36xy 2 • 3 • x • y
3 110 13-5 -2 = = 0,01 = 6) ==10 10
52 10010 10

eFiche élève Cayla 2004-2005 Algèbre 9


Fiche 9.4.005

Opérations avec les polynômes

• Pour additionner deux polynômes, on simplifie d’abord l’écriture en supprimant les parenthèses, on
réduit ensuite les monômes semblables.

2 2Exemple : (2a + 3a - 1) + ( a - 2a ) =
2 2 2a + 3a – 1 + a - 2a =
2 2
2a + a + 3a - 2a – 1 =
2
3a + a - 1


• Deux polynômes sont opposés si leur somme égale à zéro.

Exemple : L’opposé de 8x-3 s’écrit – ( 8x - 3 ) = -8x+3

car ( 8x-3 ) + ( -8x+3 ) = 0


• Pour soustraire un polynôme, on additionne son opposé.

2 2 2 2Exemple : ( 2x y + 3xy ) – ( 5x y + 2xy - 3 ) =
2 2 2 2 2x y + 3xy + ( -5x y - 2xy + 3 ) =
2 2 2 2
2x y + 3xy -5x y - 2xy + 3 =
2 2 2 2
2x y - 5x y + 3xy - 2xy + 3 =
2 2
- 3x y + xy + 3


• Produit de polynômes : voir distributivités
eFiche élève Cayla 2004-2005 Algèbre 9 Fiche 9.4.006


Distributivité Factorisation
de la multiplication sur l’addition

mise en évidence
distributivité
5 • ( a + b ) = 5•a + 5•b 5 • ( a + 3 ) = 5•a + 5•3

Factoriser Développer

Lorsque l'on passe de l'expression 5 • ( a + 3) à Lorsque l'on passe de l'expression 5•a + 5•b à
l'expression 5 • a + 5 • 3, on a transformé un l'expression 5•( a + b), on dit que l'expression a
produit en somme. On dit que l'expression a été été factorisée. On est passé d’une somme de termes
développée. à un produit de facteurs.
On appelle cette propriété la distributivité. On appelle ce procédé la mise en évidence.

Exemples : Méthode pour factoriser :
On recherche d’abord un facteur commun à tous les
2
(-2a) • ( a + 4 ) = - 2a – 8a termes. Dans l’exemple ci-dessus, c’est 5
On écrit ce facteur devant une parenthèse : 5•( )
2
car (-2a) • a = - 2a dans la parenthèse on écrit la somme du quotient de
(-2a) • 4 = – 8a chaque terme par ce facteur : 5•( a + b )

3 4 2( -a +2a –8) • ( -5a) = + 5a - 10a + 40a Si le facteur commun n’est pas explicite, on peut
décomposer chaque terme en produit de facteurs.

3 4 car (-a ) • (-5a) = + 5a Par convention, on met en évidence le plus grand
2 (+2a) • (-5a) = - 10a facteur possible.
(-8) • (-5a) = + 40a
Exemples :

Remarque : - ( a + b ) = - a – b 7• x + 7 • 2 = 7• (x+2)
= 7(x+2)

2
car - ( a + b ) = (-1)•(a + b) 16 x – 24 x = 2• 2•2•2•x - 3• 2•2•2•x •x
= (-1)•a + (-1)•b
= - a - b

= 8x • ( 2 – 3x )


4 3 2 2 26x + x + x = x • ( 6x + x + 1 )




eFiche élève Cayla 2004-2005 Algèbre 9 Fiche 9.4.007

Double distributivité



( a + b ) • ( c + d ) = a•c + a•d + b•c + b•d



Quand on multiplie deux polynômes (notés entre parenthèses) entre-eux, on doit multiplier tous les
termes du premier par tous les termes du deuxième.

Représentation géométrique :


a ac ad




b bc bd


c d

Exemples :
1) ( 3x + 2y ) • ( 5a – 2x ) = 3x • ( 5a – 2x ) + 2y • ( 5a – 2x )
= 3x•5a – 3x•2x + 2y•5a – 2y•2x
2
= 15ax – 6x + 10ay – 4xy


2) ( 2a – b + 3c ) • ( 3x – 2 ) = ( 2a – b + 3c ) • 3x - ( 2a – b + 3c ) • 2
= 2a•3x – b•3x + 3c•3x – ( 2a•2 – b•2 + 3c•2 )
= 6ax – 3bx + 9cx –4a + 2b – 6c



eFiche élève Cayla 2004-2005 Algèbre 9 Fiche.9.4.008

Quelques identités remarquables


2 2 2 2 2 2 2 2 ( a + b ) = a + b + 2ab ( a - b ) = a + b - 2ab ( a + b ) • ( a – b ) = a – b


Ces égalités découlent directement de la double distributivité.
Pour « visualiser » la première identité, on peut utiliser une représentation géométrique :


2 a ab a
2 2 2 ( a + b ) = a + b + 2ab

2b b ab

b Exemples de développement d’un produit remarquable : a
2 2 1⎛⎞1 ⎛⎞1 2 y1) x + y = x + + 2 ii x y ⎜⎟ ⎜⎟
3⎝⎠3 ⎝⎠3
2x2 2
= + y + x y
93

2 22 3⎛⎞3 333 y2) 0,3 x - y = x + - 2 ii x y ( ) ⎜⎟ ( )
10⎝⎠10
9626 3
= x + y + x y
100 10

3 2 3 2 3 2 2 2 6 43) ( 2x + y ) • ( 2x – y ) = ( 2x ) – ( y ) = 4x - y

2 2 24) ( -b + a ) • ( a – b ) = ( a – b ) • ( a – b ) = ( a – b ) = a + b - 2ab

Exemples de factorisation d’une somme remarquable :

6 2 3 3 2 2 3
1) 4x + 16y + 16x y = ( 2x ) + ( 4y ) + 2 • 2x • 4y
3 2
= ( 2x + 4y )

1 114 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22) 4x - 2x y + x y = ( 2x ) - 2 • 2x • xy + ( x y )
2 24
12 2 2 2
= ( 2x - x y )
2

2 2 2 2
3) 49a - 9b = ( 7a ) - ( 3b )
= ( 7a + 3b ) • ( 7a – 3b )

Attention : Il n’est pas toujours possible de factoriser une somme. Par exemples, on ne peut pas
2 2 2 2factoriser la somme x + y + 3xy ni la somme x + y .
eFiche élève Cayla 2004-2005 Algèbre 9 Fiche 9.4.009

Equation

Rappel : • Une équation est l’égalité de deux expressions littérales.
Cette égalité dépend de la valeur de la variable x, c’est une égalité conditionnelle.
2 Exemple : 1 0x - 16 = 2x ; 3x + 2x + 3 = 0 ; 2xy + y = 18

èmeer 21
membremembre

Dans ces expressions, les variables x et y sont appelés les inconnues de l’équation.
L’expression à gauche du signe « = » est appelée membre de gauche, celle à droite du
signe « = » est appelée membre de droite de l’équation.

• On distingue différents types d’équations, entre autres :
- Les équations du premier degré à une inconnue
- Les équations du premier degré à deux inconnues

• Résoudre une équation à une inconnue x, c’est trouver par quel(s) nombre(s) il faut
remplacer l’inconnue x pour obtenir une égalité vraie entre les deux membres.
On appelle ces nombres les solutions de l’équation.

•Pour résoudre une équation, on applique les règles d’équivalence, elles permettent de
transformer une équation en une autre qui a la(les) même(s) solution(s) :


1) On peut simplifier chacun des membres de l’équation.

2) On peut additionner ou soustraire simultanément aux deux membres de l’équation
- un même nombre,
- un même monôme,
- un même polynôme

3) On peut multiplier ou diviser simultanément les deux membres de l’équation par un
même nombre non nul.
eFiche élève Cayla 2004-2005 Algèbre 9 \
Fiche 9.4.010

Résolution d’une équation du premier degré à une inconnue

Ce type d’équation n’a qu’une seule inconnue dont l’exposant vaut 1.
En général, elle n’a qu’une seule solution.
2
Exemples : x + 2x -1 = 0 ; x + y + 7 = -2
ne sont pas des équations du premier degré à une inconnue.

Exemples de résolution d’équation :
9 1
1) 4 ( x + ) = 9x – 12 - x Réduire chacun des membres.
5 2
36 1
4x + = 8x -12 + 12 (ajouter 12 aux deux membres)
5 2
36 1
4x + + 12 = - 4x (soustraire 4x aux deux membres)
5 2
36 1
+ 12 = 4x • (diviser les deux membres par 4)
5 4
1 36
• ( + 12 ) = x
4 5
24 1 = x Calculer la solution 5 2
On note : 24 9 33 132
Vérification : 4 ( + ) = 4 • =
24 5 5 5 5
S = { }
5 24 24 132
9 • - 12 - =
5 5 5


Cas particuliers :
2) 3( 2x – 3 ) – 6 = 2( 3x – 1 ) Réduire
6x – 15 = 6x – 2 + 15
6x = 6x + 13 - 6x
0x = 0 = + 13 Absurde car 0 ≠ 13
Cette équation n’a pas de solution, donc impossible de trouver x tel que 0 = 13
on note :
S = Ø


3) 5 – 2 ( 3x – 1 ) = 3( 1-2x ) + 4 Réduire
5 – 6x + 2 = 3 – 6x + 4
7 – 6x = 7 – 6x - 7
- 6x = - 6x + 6x
0 x = 0 L’égalité est vraie quelle que soit la valeur de x.
Cette équation a une infinité de solutions.
On note :
S =


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