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de profil-urra-2012

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AnalyseIIUniversite´ClaudeBernardprintemps2008che3 Exercice 1 Donnerpourchacunedesfonctionspropose´escidessousune´quivalentsimple: 8 6 3 a)f(x) =x+ 5x6xquandx0 8 6 3 b)f(x) =x+ 5x6xquandx+8 6 3 c)f(x) =x+ 5x6xquandx2 8 6 3 d)f(x) =x+ 5x6xquandx1 7 22x5 9x+1 e)f(x) =x+x+ (lnx) +e+ 4xxquand+ 5x+Exercice 2 ´ Etablir pour chacune des fonctionsfe´dnusuomeppolevees´porossdeiscpimitentl´edefrorda`len0en propose´: x2 2 a)f(x) =e(n= 5)b)f(x) = ln(1 +x) (nc)= 6)f(x2) = sinx+ cosx(n= 7) ln(1 +x) 3x d)f(x) =esin 2x(n= 4)e)f(x) =(nf)= 3)f(x) = tanx(n= 5) 1 +x ln(1 +x) ln(1+x) 1/x g)f(x() =nh)= 3)f(x) = (1 +x) (n= 3)i)f(x) =(n= 3) x2 esinx(1 +x)   xshx 2 j)f(x() = shnk)= 4)f(x() =n= 4)l)f(x) =11x(n= 3) 1 +x1 + shx Exercice 3 2 1 +ax De´terminerlesr´eelsaetbpour que cosxeltpenimninunitsordaesuistetidrouepossib´elev´eq 2 1 +bx au voisinage de 0. Exercice 4   1 3 Soitfrapioctolnafien´endf(x) =xsin pourx6= 0 etf(0) = 0. x 1) Montrer quefardre2en0.tnemimil`e´tolaetdmd´unelevpeop 2) La fonctionfsetleeled0?enelbavire´dsiofxu Exercice 5 x+a Pouraonnctilafonitdne´´xoeeel´rfaparfa(x) = Arctan. 1ax 1) Soitneeleonp0p`ealmeenrtulnidm´ietv´e´etmrnirnoeridtreeD.unne´ed´oniveralofcnitedf. a 2) Soitkth´entlelisanutiroYaTlyemedroe`eledirdu´e,dngoue´ce´rpnoitseuqaedtnlevalauedreitneE.renu (k) fa(0). 3) Soitme`eme´rolyroedaTngetYouestilaqu´ce´rpno´,etnedereriecutnen.reitunEsilitdanouenauvethle unde´veloppementlimit´een0a`lordremdefa. Exercice 6 Calculerleslimitessuivantes(sanspr´esupposerleurexistence!): xx eesin 3x1cosx+ ln(cosx) a) limb) limc) lim 3 4 x0x0x0 sinx3xsin 2x x 2 2 tanxsin 2xln(cos 2x) 2 1/x d) lime) lim(cosxlim) f) x(1cos 3x3) ln(cosx) x0x0x0    x x 1 11e1 1e1 g) limh) limln i)lim ln x2 x0x0x+x(e1)xx xx x Exercice 7 Calculerunde´veloppementlimite´ouasymptotiquedelafonctionf:pour chacun des cas suivants 2 a)f(x) =xlnxuo`xdrola`t;5erters1endve b)f(x) =2 +xo`uxre0stea`lrord3e;dvent c)f(x) = ln(2 +xu`)oxtvdne0srea`teorle2dr; π d)f(x) = sinxuo`x;3erdrola`tersvendte 4
3 2 e)f(x) =x+ 4x+xrlao`15,drdredpouaborxtendant vers 0 puis pourxtendant vers 1; π f)f(x) = ln(sinxa`lrord3e;)auvoisinagede 2 4 g)f(x) =x+x+ 1au voisinage de +avec trois termes significatifs; x+ 1 h)f(xau voisinage de +) = Arctanavec trois termes significatifs. x+ 2 Exercice 8 Calculer les limites suivantes (en montrant leur existence): 3 x+ 33x+ 5 a) quandxtend vers 1. πx 1tan( ) 4 3 x2x b)xquandxtend vers +. x1  x1x c)xquandxtend vers +. e x+ 1 Exercice 9 π πln(12 sinx) Soitflafonctionseine´d]ru,0[]0,[ parf(x.) = 6 6sh 2x ´ 1)Ecrireled´eveloppementlimit´edefrol2erdea`0n. 2) Montrer queflemitiqesse`ednuponduaxtend vers 0. On noteralcette limite dans la suite de l’exercice. 3) On posef(0) =l. Montrer quef,airolonsipse,ee´gnavire´dt.n0eebl Exercice 10 Onde´nit,pourx]0,+[ les fonctionsfetgpar : Arctanx f(x) = ArctanxArctan(xet+ 1)g(x) =. Arctan(x+ 1) 1)D´eterminerlalimitedef(x) pourxtendant vers +. En remarquant quef(x)tan [f(x)] quandx 1 tend vers +dneeu,uqdeer´if(x)∼ −quandxtend vers +. 2 x f(x) 2)End´eduirelalimiteen+deg(x), puis montrer que ln[g(x)]en +. Arctan(x+ 1)  x 2 Arctanx 3)D´eduiredecequipr´ec`edelavaleurdelim. Arctan(x+ 1) x+Exercice 11 1)D´eterminerund´eveloppementlimite´a`lordre3en0de:
ln(1 + shx).
2)De´terminerunde´veloppementlimit´e`alordre2en0de:
ln(1 + shx) . 2 2xx
3)D´eterminerunde´veloppementlimit´ea`lordre4en0de:
ln(1 + shx).
Exercice 12 Onde´signeparfetgles applications de ]1,1[ versRspierourestcepmevidtnene´1< x <1 par: f(x) = sin[ln(1 +x)] etg(x) = ln(1 + sinx). ´ Etablirdesde´veloppementslimit´esen0et`alordre4desfonctionsfetgdecnenuxeletsiedd´reuien; constantere´ellek(qu’on explicitera) telle que 4 f(x)g(x)kx quandx0. Exercice 13 Soitfneius]raplicplioat´endπ, π[ par: 1 f(x) = cosx+ 1 etg´endioaticplaplruseinRpar : 1 g(x) =. 2 2 1+ ln(1 +x) 1)Calculerlede´veloppementlimit´ea`lordre4en0def. 2)Calculerled´eveloppementlimite´a`lordre4en0deg. 3)End´eduirelexistenceetlavaleurde: 3 2 g(x)f(x) +x 8 lim. x04 sinx x6=0 Exercice 14 Soitfetgles deux applications deRversR´deinseap:rrespectivement 1 2 f(x) = ln(1x) etg(x) =1. 2 chx 1)D´eterminerdesd´eveloppementslimite´sdefet deglbalav,5ruopse`rerdoalxtendant vers 0. 2)D´eduiredecesd´eveloppementslimit´esquilexisteunre´elη >0 tel que: pour toutx]η,0[]0, η[, f(x)< g(x). Exercice 15 Enutilisantund´eveloppementasymptotique,´etudierlesbranchesinniesdesgraphesdesfonctionssuivantes : 2 f(x) =x+x+ 1 ;   x+ 1 3 f(x) =xln ; x 3 x+ 2 f(x) =; x1   1 2 f(x) =xxln 1+ . x