Application linéaire associée

De
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Application lineaire associee Dedou Novembre 2009

  • vecteur constant

  • unique application

  • rq ?

  • condition supplementaire


Publié le : dimanche 1 novembre 2009
Lecture(s) : 20
Source : math.unice.fr
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Applicationlin´eaireassoci´ee
De´dou
Novembre 2009
Lecasdesespacesnume´riques
q p Soitf:RRune application affine. On sait quefs´ectir v7→L(v) +c q pp ou`L:RRintlai´eeerstec:Rest un vecteur constant. Lade´compositionf=L+cest unique (on ac=f(0)). On dit queLltserapaleite´niairedefcitaoilnnie´iaer,oulappl ~ associ´eea`f, et on la notef. Elle s’obtient ”en oubliant les termes constants”. Proposition q On a, pour tousAetBdeR, ~ f(A)f(B) =f(AB).
Exo Quelleestlapartielin´eairede(x,y)7→(x+ 1,2,x+y+ 3) ?
Le cas des espaces vectoriels
Proposition SoientEetFdeux espaces vectoriels etf:EFune application ~ affine. L’applicationf:=v7→f(v)faire.Onlesatplpielnl´ee()0 partielin´eairedefuopalp´einreaiaticnlioa`eossae´icf. ~ f(A)f(B) =f(AB).
Lecasge´ne´ral
Proposition SoientEetFdeux espaces affines etf:EFune application ~ ~~ ane.Ilexisteuneuniqueapplicationline´airef:EF ve´riant,pourtousAetBdeE, ~ f(A)f(B) =f(AB). Onlappellepartieline´airedefuaoticalipp`ai´ee´naenoilsscoriaef.
Partielin´eaireimpos´ee
Proposition ~ ~ SoientEetFdeux espaces affines,L:EFune application lin´eaire,Aun point deEetBun point deF. Alors il existe une ~ unique application affinef:EFnaitre´vf=Letf(A) =B. Preuve (cas des espaces vectoriels) :fladereetermfoˆtiod v7→L(v) +cupplionsntai´emetedntialocoferecrcava`riol BL(A). Exo 2 3 Quelle est l’application affine deRdansRqui envoie (1,0) sur (0,0,()1teodtnalapiertn´liireasteex,y)7→(x,2y,x+ 3y) ?
Line´arite´
Exercicemuscle´ SoientEetFdeux espaces affines. Trouvez la structure d’espace vectoriel intelligente surAff(E,F) et montrez que l’application ~ partie lin:Aff(E,F)Lin(E,F) :=f7→f.eriaen´liste
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