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Applications Dedou Avril 2011

  • double langage

  • langage naturel

  • notation fonctionnelle


Publié le : vendredi 1 avril 2011
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Applications
D´edou
Avril
2011
Application
D´finition e Une application (certains disent “fonction”) de l’ensemble E vers l’ensemble F est une partie G de E × F v´eriantlaconditiondexistenceetunicit´edelimage:
x E , ! y F , ( x , y ) G .
Si une partie G de E × F ve´riecettecondition,onditaussique G est un graphe. Onadoncledoublelangagealg´ebriqueetge´ome´trique.
Exemple { ( x , y ) R 2 | y 3 + y = x 2 } est un graphe.
Recette
Pou d´finir une application de E vers F , r e il faut donc donner une partie G de E × F et prouver que c’est un graphe.
Exo 1 Prouver (en langage naturel) que { ( x , y ) : y 3 + y = x 2 } . est un graphe.
Ensembles
Notation
dapplications
:
L’ensemble
des
applications
de
E
vers
F
est
note ´
E
F
.
Image et notation fonctionnelle
De´nition Si g est une application de E dans F et x une´le´mentde E , on note g ( x )luniquee´le´mentde F v´eriant( x , y ) g , et on dit que c est l image de x par g . ’ ’
Composition d’applications
D´fi itio e n n Soient R , S , T trois ensembles, f une application de R dans S et g une application de S dans T .Onde´nitleurcompos´eeparla formule
g f := { ( x , z ) : R × T |∃ y : S , ( x , y ) f et ( y , z ) g } .
Proposition Danslemˆemecontexte, g f est une application .
Et ca se prouve. ¸
Associativite´
Proposition
La
composition
des
applications
est
associative.
Le´galit´edesapplications
Proposition
Deux applications g et h de E dans lamˆemeimagepar g et par h .
Etc¸aseprouve.
F
sont
e´gales
ssi
tout
x
de
E
a
La
construction mapsto
En pratique, ond´enituneapplication f : E F par une formule identifiant f ( x ). Pourbieng´ererlestatutspe´cialdelavariable x , au lieu de noter notre application f ( x ), ce qui serait frauduleux (pas de x dans le contexte), on la note x 7→ f ( x ).
Applications injectives
De´nition on dit que l’application f : E F estinjectivesiellev´eriela conditiondunicit´edesante´d´edents:
x , y : E , f ( x ) = f ( y ) x = y .
Exemple La fonction x 7→ x 3 est une application injective de R dans R .
Propri´ete´sdesapplicationsinjectives
Proposition i)lacompose´ededeuxapplicationsinjectivesestinjective ii) si g f est injective, alors f est injective iii) si f g et f h sonte´galeset f est injective, alors g et h sont ´egales. iv) si f : E F est injective avec E non vide, alors il existe g : F E avec g f = Id E .
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