Applications linéaires

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Applications lineaires Dedou Octobre 2010

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Publié le : vendredi 1 octobre 2010
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Applicationsline´aires
De´dou
Octobre 2010
Syst`emeslin´eairescommee´quationsauxante´ce´dents
Onvashabituer`ainterpr´eterparexemplelesyst`eme 2x+ 3y= 4 3x5y= 0 commee´quationauxant´ec´edentspar f:= (x,y)7→(2x+ 3y,3x5y). Cetfest un exemple d’application´nilriaee.
D´enitiondesfonctionsline´aires
3 Unefonctionline´airesurRest une fonction de la forme (x,y,z)7→ax+by+cz.eralement:P´ne´gsul D´enition q Unefonctionlin´eairesurRest une application de la forme
(x1,∙ ∙ ∙,xq)7→a1x1+∙ ∙ ∙+aqxq.
Exemple 4 (x,y,z,t)7→2yπtnie´iaernotcoilnefunstesurR.
Exo 1 3 Ecrivezvotrefonctionline´airepre´f´er´eesurR.
De´nitiontranquilledesapplicationsline´aires
De´nition q p Uneapplicationlin´eairedeRdansRest une application de la forme
v7→(f1(v),∙ ∙ ∙,fp(v)) q o`uf1,∙ ∙ ∙,fpsedtnosnoitcnofai´einslurssreR.
Exemple (x,y,z,t)7→(2yπt,xz,y+tiaeredoilnnie´applicat)estune 4 3 RdansR.
Exo 2 2 3 Ecrivezvotreapplicationlin´eairepr´efe´re´edeRdansR.
De´nitiondiaboliquedesapplicationslin´eaires
Proposition q p Une applicationfdeRdansRseisaeriil´netsepaombltileeltces auxtroise´le´mentsdelastructurevectorielle(0,+, .) au sens suivant compatibilite´auxneutres,ouneutralite´:f(0) = 0 ; compatibilite´auxadditions,ouadditivit´e:pourvetw q quelconques dansR, on af(v+w) =f(v) +f(w) ; compatibilit´eauxmultiplications,ouhomoge´ne´ite´:pourλ q r´eelquelconqueetvvecteur quelconque dansR, on a f(λv) =λf(v).
Etc¸asede´montre!
Une application tranquille est diabolique
3 2 On le fait pourf:RR. On a donc six nombres 0 0 0 a,b,c,a,b,cavec
0 0 0 f:= (x,y,z)7→(ax+by+cz,a x+b y+c z). 0 0 0 On calcule :f(0) = (0a+ 0b+ 0c,0a+ 0b+ 0c) = 0. 0 0 0 Et puis, pour (x,y,z) et (x,y,z) quelconques, on a 0 0 0 0 0 0 f((x,y,z) + (x,y,z)) =f(x+x,y+y,z+z) = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (ax+ax+by+by+cz+cz,a x+a x+b y+b y+c z+c z) et 0 0 0 f(x,y,z) +f(x,y,z) = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (ax+by+cz,a x+b y+c z) + (ax+by+cz,a x+b y+c z) = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (ax+by+cz+ax+by+cz,a x+b y+c z+a x+b y+c z). Cestbienlamˆemechose. Exopourlessurmotive´s De´montrezdemeˆmef(λv) =λf(v).
Une application diabolique est tranquille
3 2 On le fait encore pourf:RR. Cette fois on sait quefest 0 0 0 diabolique et il faut choisir six nombresa,b,c,a,b,cet prouver
0 0 0 f= (x,y,z)7→(ax+by+cz,a x+b y+c z). 0 Pour (a,a) on prendf(1,0,0). Exopourlessurmotiv´es 0 0 Que prend-on pour (b,b) et (c,c) ?
On calculef(x,y,z) =f(x(1,0,0) +y(0,1,0) +z(0,0,1)) =xf(1,0,0) +yf(0,1,0) +zf(0,0,1) 0 0 0 =x(a,a) +y(b,b) +z(c,c) 0 0 0 = (ax+by+cz,a x+b y+c z). Cqfd.
Laformulationsynth´etique
Proposition q p Une applicationf:RRontidion´velleiscaleireae´nserieilts suivante :
q λ, µR,u,vR,f(λu+µv) =λf(u) +µf(v).
Cette condition regroupe en une seule les trois conditions de la d´enitiondiabolique. Etc¸asede´montre!
Laconditionestn´ecessaire
q Sifai´e,ore,pnartousuoseltniλ, µRet tousu,vR
f(λu+µv) =f(λu) +f(µv) =λf(u) +µf(v). paradditivite´ethomoge´ne´ite´def.
La condition est suffisante
On afiomtotdnteun´ehteqyishoseoiscertrontr.s Neutralite´.Onaf(0) =f(0.0 + 0.0) = 0f(0) + 0f(0) = 0. q Additivit´e.Pouruetvquelconques dansR, on a f(u+v) =f(1.u+ 1.v) = 1.f(u) + 1.f(v) =f(u) +f(v). Homog´en´eit´e.
Exopourlessurmotiv´es Traˆıtez ce cas.
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