Applications linéaires

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Applications lineaires Dedou Novembre 2011

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Publié le : mardi 1 novembre 2011
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Applicationsline´aires
De´dou
Novembre 2011
Syste`mesline´airescomme´equationsauxante´ce´dents
Onvashabituera`interpre´terparexemplelesyste`me 2x+ 3y= 4 3x5y= 0 commee´quationauxante´c´edentspar f:= (x,y)7→(2x+ 3y,3x5y). Cetfest un exemple d’applicationniliae´er.
De´nitiondesfonctionsline´aires
3 Unefonctionlin´eairesurRest une fonction de la forme (x,y,z)7→ax+by+cz.´eralement:ne´gsulP D´enition q Unefonctionlin´eairesurRest une application de la forme
(x1,∙ ∙ ∙,xq)7→a1x1+∙ ∙ ∙+aqxq.
Exemple 4 (x,y,z,t)7→2yπtil´naeriofcnitnonetuesesurR.
D´enitionconcr`etedesapplicationsline´aires
D´enition q p Uneapplicationlin´eairedeRdansRest une application de la forme
v7→(f1(v),∙ ∙ ∙,fp(v)) q ou`f1,∙ ∙ ∙,fplsnoe´nieriarusssontdesfonctiR.
Exemple (x,y,z,t)7→(2yπt,xz,y+tnilnoitaederiae´estu)plicneap 4 3 RdansR.
De´nitionabstraitedesapplicationslin´eaires
Proposition q p Une applicationfdeRdansRnie´seltsseiiaerstllee compatiblea`lastructurevectorielle(0,+, .) au sens suivant compatibilit´eauxneutres:f;(0) = 0 compatibilit´eauxadditions: pourvetwquelconques dans q R, on af(v+w) =f(v) +f(w) ; compatibilite´auxmultiplications,ouhomoge´n´eit´e: pour q λuqeetqleuclnor´eevvecteur quelconque dansR, on a f(λv) =λf(v).
Et¸cased´emontre...
D´enitiondiaboliquedesapplicationsline´aires
Proposition q p Une applicationf:RRnltsein´eairessielleve´irealocdntioi suivante :
q λ, µR,u,vR,f(λu+µv) =λf(u) +µf(v).
Cette condition regroupe en une seule les trois conditions de la d´enitiondiabolique. Et¸casede´montre...
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