Approximation linéaire

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Approximation lineaire Dedou Fevrier 2012

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Publié le : mercredi 1 février 2012
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Approximation
De´dou
Fe´vrier
lineaire ´
2012
La
tangente
Les braves fonctions ont une tangente en chaque point de leur graphe(etc¸asedessine).
Le slogan, c’est ”Au voisinage d’un point, on approche la fonction par sa tangente en ce point .
Il vaut donc mieux savoir calculer cette tangente. Cette tangente estunefonctionane,ouplutˆotunedroite(songraphe).
Lameˆmesanslesabus
Danslapagepre´ce´dente, onam´elangelelangagedesfonctionsetceluidesgraphes. ´
Il vaudrait mieux dire : Les graphes des braves fonctions ont une tangente en tout point
que Les braves fonctions ont une tangente en chaque point.
¸ Maiscaconduit`adire Au voisinage d’un point, on approche la fonction par la fonction anedontlegrapheesttangenta`celuide f en ce point
qui est bien plus lourd que Au voisinage d’un point, on approche la fonction par sa tangente en ce point.
Tangenteetline´arise´e
Poure´viterlaconfusionentrelafonctionaneetsongraphe ondonneunnom`alafonctiondontlatangenteestlegraphe.
Pour f de´rivableen a , on appelle line´arise´e de f en a la fonction dont le graphe est la tangente au graphe de f en a (plus exactement en ( a , f ( a ))).
On veut donc savoir calculer latangenteetlalin´earis´ee.
Le calcul de la tangente
La tangente en a augraphedelafonctiond´erivable f a pour ´equation
y = f ( a ) + ( x a ) f 0 ( a ) .
Exemple : la tangente en 3 au graphe de la fonction x 7→ x 2 est la droite de´quation y = 6 x 9.
Exo 3.1 Calculez la tangente en 4 au graphe de la fonction x 7→ 2 x 3 + 1.
Lecalculdelalin´earis´ee
Lalin´earis´eeen a delafonctionde´rivable f est la fonction
Exemple : laline´arise´
x 7→ f ( a ) + ( x a ) f 0 ( a ) .
laline´arise´ een3delafonction x 7→ x 2 + 1 est la fonction x 7→ 6 x 8.
Exo 3.2 Calculezlalin´earis´eeen4delafonction x 7→ 2 x 3 + 3.
Comment font les physiciens ?
Lapproximationlin´eairedesphysiciens c est la pseudo-formule :
f ( a + h ) f ( a ) + f 0 ( a ) h .
qui dit que si on ne connait pas f ( a + h ) et si h est petit, “on peut” essayer de mettre f ( a ) + f 0 ( a ) h `alaplace.
Nous, on va dire que Le nombre f ( a ) + f 0 ( a ) h estuneapproximationlin´eairedunombre f ( a + h ). Cetteapproximationestdautantmoinsille´gitimeque h est petit.
Lapproximationlin´eairedesnombres:exemple
Faireuneapproximationline´airedunnombre,cest choisir (ou comprendre) qui sont f et a (et du coup h ), calculer f ( a ) , h et f 0 ( a ) ”proposer” f ( a ) + hf 0 ( a ) comme approximation de f ( a + h ).
Exemple Si on veut une approximation du nombre sin 3 on peut prendre
f := sin a := π ( π est le nombre le plus proche de 3 dont le sinus est connu) h := 3 π (pour avoir a + h = 3).
On trouve alors f ( a ) = sin π = 0 et f 0 ( a ) = cos π = 1 ce qui donne π 3commeapproximationlin´eairedesin3.
Lapproximationline´airedesnombres:exercice
Faireuneapproximationline´airedunnombre,cestdonc choisir (ou comprendre) qui sont f et a (et du coup h ), calculer f ( a ) , h et f 0 ( a ) ”proposer” f ( a ) + hf 0 ( a ) comme approximation de f ( a + h ).
Exo 3.3 Choisissez f , a et h pouruneapproximationlin´eairedecos6. Quelle est l’approximation correspondante ?
Approximationline´aireettangente
Il faut bien voir que la pseudo-formule
sobtienta`partirde
f ( a + h ) f ( a ) + f 0 ( a ) h
f ( x ) f ( a ) + f 0 ( a )( x a )
en y remplacant x par a + h . ¸ Surladeuxi`emepseudo-formule,onvoitlalin´earis´ee.
¸ Tout ca se dessine
Pourbiencomprendrelapproximationlin´eaire,ilfautfaireun dessino`uapparaissent,enplusdelacourbeetsatangente, a et a + h en abscisse, et f ( a ) , f ( a + h ) et f ( a ) + f 0 ( a ) h enordonne´e.
Exo 3.4 Dessinezvotreapproximationlin´eairedecos6.
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