Autour d'un resultat elementaire

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Autour d'un resultat elementaire M. Tibouchi 22 mai 2004 Resume Comme promis, mais avec un certain retard, je propose ici une solution propre a l'un des exercices du 21 janvier, avec en prime quelques remarques culturelles s'y rap- portant. Tous les commentaires, demandes d'eclaircissements, corrections, remarques orthographiques ou autres, sont les bienvenus.1 1 Chose promise, chose due. Il s'agissait de montrer que pour tout polynome f non constant a coefficients entiers, il existe une infinite de nombres premiers p tels que f ait une racine modulo p. Posons a = f(0), qu'on peut bien sur supposer non nul, et g(X) = f(aX). Tous les coefficients de g sont divisibles par a, donc on peut ecrire g(X) = a · g0(X), avec g0 polynome a coefficients entiers, de meme degre que f , et verifiant g0(0) = 1. Il suffit de montrer que l'ensemble des nombres premiers modulo lesquels g0 a une racine est infini. Supposons par l'absurde qu'il n'y en ait qu'un nombre fini, et notons m leur produit. Comme le polynome g0(mX) n'est pas constant, il prend sur Z une valeur entiere autre que ±1, et il existe un entier x et un nombre premier tels que |g0(mx).

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Publié le : samedi 1 mai 2004
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Autourdunr´esultate´l´ementaire
M. Tibouchi 22 mai 2004
Re´sume´ Commepromis,maisavecuncertainretard,jeproposeiciunesolutionproprea` l’un des exercices du 21 janvier, avec en prime quelques remarques culturelles s’y rap-portant.Touslescommentaires,demandesd´eclaircissements,corrections,remarques 1 orthographiques ou autres, sont les bienvenus.
1 Chosepromise, chose due. Ilsagissaitdemontrerquepourtoutpolynoˆmeftiens,ercietsentnatoca`nonsnoc ilexisteuneinnit´edenombrespremiersptels quefait une racine modulop. Posons a=fsˆeurrnsiueppnosle,uettbononnup,)uq0(g(X) =f(aX). Tous les coefficients degsont divisibles para,donconpeut´ecrrieg(X) =ag0(X), avecg0aponˆlye`om coecientsentiers,demeˆmedegre´quefant´eri,etvg0(0) = 1. Il suffit de montrer que l’ensemble des nombres premiers modulo lesquelsg0a une racine est infini. Supposons par l’absurde qu’il n’y en ait qu’un nombre fini, et notonsmleur produit. Commelepolynˆomeg0(mX) n’est pas constant, il prend surZuenavelruneite`ertuaer que±1, et il existe un entierxet un nombre premier`tels que`|g0(mx). Alorsg0a en particulier une racine modulo`, donc`|m. Mais alors : g0(mx)g0(0)1 (mod`) quiestlacontradictionrecherch´ee. On n’a fait, finalement, que tirer un peu sur la corde de la preuve d’Euclide qu’il yauneinnite´denombrespremiers.Etilestassezremarquablequonpuisseobtenir autantavecsipeudemoyens,carlesr´esultatsanaloguespluspre´cissontconsid´erable-2 ment plus difficiles. 1 JeremercieenparticulierGae¨tanChenevier,C´edricPe´pinetAlexandrePilkiewiczpourleurlectureet leurspr´ecieusesremarques. 2 Cependant,contrairementa`cequindiquaituneversionante´rieuredecettenote,ler´esultatselonlequel pour toutfdenoit´eixnisnt,eiulneesimrepserbmerpmodulo lesquelsfeste´dnics(i.e. le fait que Spl(f) estinni,aveclesnotationsduparagraphe3)estencore´ele´mentaire,meˆmesilrequiertunattirailunpeu plusfourni.Envoiciunede´monstration,suivantunexercicepropose´parGa¨etanChenevierenTDdalg`ebre. Soitα1, . . . , αnles racines defdansC, etk=Q(α1, . . . , αnrosposcn)elsaD.e`rpsipoontid´deomec
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2Lescaseuclidiensduth´eor`emedelaprogres-sionarithme´tique. Pourdonneruneid´ee,lere´sultatpr´ec´edentpermetdemontrerfacilement,enconsi-d´erantpourfemoˆnylomotolcyciqueΦeplnbromprese-etnuienin´tdene,quilexis mierscongrusa`1modulon. Esquissons rapidement la preuve (voir un des exercices du28janvier).Ilsutdemontrer,graˆce`acequipr´ece`de,qua`unnombrenidex-ceptionspre`s,siΦna une racine modulo un certain nombre premierp, alorsp1 (modn`esqueOn).utpefaenvoituqrieceeltsdsacpne divise pasn. En effet, soit 3 xune racine de Φnmoduloproe`hte´tetilrpelefaatetFermmedetipas,oralna.O n que Φn|X1 : n p1 xx1 (modn) d donc si l’on notedlepgcddenetp1,x1 (modn). Sid=n,onagga´n.e d0 Sinon,xest racine modulopdeX1, donc de l’un des Φdpourd|d. Mais alorsxest 0 n n1 racine au moins double deX´eriv´edesenoopylˆnmodenicartsecnod,1nX. Or, puisquep`aerptseimernlomoduuqleneani0eracace,lypoomnˆp, ce qui conclut. Dunautrecoˆt´e,montrerquepournilirisexpaim´tinnedenuetniee-ombrespr mierscongrusa`2modulontiatuntesiesecn´sulppuocuaebliarentoe,etbor´´elastuac beaucoupplusdeorts.Cest`apeupr`esaussidurquedemontrerleth´eor`emeg´en´eral, duˆa`Dirichlet,selonlequelpourtousa,beisrrpmedeeeuxietn´terixnisnte,uinlee nombres premiers de la formeak+bUdeuraledeme`lbroep.Liatpr´esentlmen1993 unepreuvebase´eenti`erementsurdesoutilsdepre´pa,maisilfautunpeusaccrocher pourlere´digerdunbouta`lautre.Lespreuveshabituellessontpluscourtes,mais utilisentquelquesnotionsdanalysecomplexequirele`ventplutoˆtduprogrammede licence. Dailleurs,cestunequestioninte´ressantederechercherpourquelscouples(a, b) on peutarrivera`montrerleth´eor`emedeDirichletparlame´thode´el´ementaireexpose´e plushaut.Ilsetrouvequonpeutdonnerunsenspr´ecis`alaquestion,etquonsaity r´epondredepuispeu:Murtyamontre´en1988quuneconditionn´ecessaireetsusante 2 e´taitqueb1 (modaeduvsanei.K)adnrCotheunepr´eenproposdnlepaerestntaoi lexpos´e<http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/dirichleteuclid.pdf>.
ˇ 3Lethe´ore`medeCebotarev. Ilestint´eressantderemarquerquelapreuvedufaitquececas-ciestenfaitleseul accessibleparlam´ethodee´le´mentaire«`acleidlaEu»nemitme`rarveeteleoh´utisil the´or`emedel´el´ementprimitif,ilexistexdans l’anneauA=Z[α1, . . . , αn] tel quek=Q(x). On a donc des polynoˆmesg1, . . . , gnQ[X] tels queαi=gi(x). Si l’on noteNetru,snoaaolsrmcppelsdurledenamino´e A[1/N] =Z[1/N, x]. SoituZ[X]opelˆnylemomimindealxnit´einteunexismeeiserpmorbdenersIl.p modulo lesquelsut`adirequirevienetnuomprulixesieannuxsmhiaedqec,enicarenuaZ[X]Z/pZ. Mais alors pour tout telp > N, il existe un morphisme d’anneauZ[1/N, x]Z/pZ, et donc a fortiori AZ/pZ. Mais l’existence d’un tel morphisme signifie exactement quefoluodemd´inscstepelu`od: re´sultat. Q 3n On rappelle queX1 =Φd. d|n
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