BIEN SOUS TOUS RAPPORTS

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BIEN SOUS TOUS RAPPORTS Objectif Interpréter les représentations graphiques de fonctions numériques. Associer les propriétés d'une fonction rationnelle à celles des fonctions polynômes qui la composent. Outils Notions générales sur les fonctions numériques. Fonctions de référence : polynômes et fonctions rationnelles. Une fonction est le quotient d'une fonction affine par une fonction du second degré dont on connaît les courbes représentatives. On se propose de déterminer quelques propriétés de cette fonction et de sa courbe représentative à partir des courbes données. On s'intéresse également au problème réciproque. Dans le plan rapporté au repère orthonormal , on considère : (O, , ) ? ? i j – la droite D d'équation (où = +y mx p m et p sont des nombres réels non tous deux nuls) ; – la parabole P d'équation (où 2= + +y ax bx c a, b, c sont des nombres réels, a non nul). On leur associe la fonction numérique f de la variable réelle x définie par 2( ) += + + mx pf x ax bx c , et sa courbe représentative C . On se propose de déterminer quelques propriétés de la fonction f et de la courbe C à partir des données relatives à la droite D et à la parabole P , et réciproquement de retrouver des propriétés de D et de P connaissant C .

  • i? j?

  • j?

  • axe des abscisses au point d'abscisse

  • axe des ordonnées

  • axe des abscisses sur l'intervalle

  • plan rapporté au repère orthonormal


Publié le : lundi 18 juin 2012
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Source : mathematiques.ac-bordeaux.fr
Nombre de pages : 4
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BIEN SOUS TOUS RAPPORTSObjectifInterpréter les représentations graphiques de fonctions numériques. Associer les propriétés d’une fonction rationnelle à celles des fonctions polynômes qui la composent. OutilsNotions générales sur les fonctions numériques. Fonctions de référence : polynômes et fonctions rationnelles. Une fonction est le quotient d'une fonction affine par une fonction du second degré dont on connaît les courbes représentatives. On se propose de déterminer quelques propriétés de cette fonction et de sa courbe représentative à partir des courbes données. On s'intéresse également au problème réciproque. → → Dans le plan rapporté au repère orthonormal(O,i,j), on considère : – la droiteDd’équationy=mx+p(oùmetpsont des nombres réels non tous deux nuls) ; 2 – la parabolePd'équationy=ax+bx+c(oùa, b, csont des nombres réels,anon nul). mx+p On leur associe la fonction numérique fde la variable réellexdéfinie parf(x)=, 2 ax+bx+c et sa courbe représentativeC. On se propose de déterminer quelques propriétés de la fonctionf etde la courbeC àpartir des données relatives à la droiteDet à la paraboleP, et réciproquement de retrouver des propriétés de Det dePconnaissantC. D A. Premiersindices 1. Àpartir des seuls éléments indiqués sur le graphique cicontre, où ont été représentées la droiteDet la paraboleP, déterminer :P – l’ensemble de définition de la fonctionf; – les solutions de l’équationf(x)=0; – les solutions de l’équationf(x)=1; j– le signe def(x) selon les valeurs dex. 4 71 O 72i2. Interprétergraphiquement pour la courbeC les résultats trouvés. FACULTATIFOn pourra ici expliciter la fonctionf endéterminant une équation de la parabolePune équation de la et droiteDà l’aide du seul paramètrea.
I  Problèmes introductifs
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1
B. Ébauche Réaliser un graphique représentant une droiteDune parabole etP sachantque la courbeCassociée vérifie à la fois : Cn’admet pas d’asymptote parallèle à l’axe des ordonnées ; Ccoupe l’axe des abscisses au point d’abscisse3; – la droite d’équationy=1coupeCen un seul point d’abscisse1; Cest audessus de l’axe des abscisses sur l’intervalle ];3[.
j 1 O i
C. Casde symétrie Sachant que la parabolePpour axe de symétrie a l'axe des ordonnées, et que la droiteDpasse par le pointA, tracer cette droiteDen sorte que : 1. lafonction associée soit paire ; 2. lafonction associée soit impaire.
I  Problèmes introductifs
Bien sous tous rapports
3
j Oi
P
A
2
D. Termesdu rapport 1. Démontrerque toutes les courbesC admettent pour asymptote la droite d’équationy=0 au j voisinage de+et de. O 2 i 2. Àpartir des seuls éléments indiqués sur le graphique cicontre où ont été représentées la C courbeC etses asymptotes d’équations respectivesx=2ety=0, donner : – l’ensemble de définition de la fonctionf; – les solutions de l’équationf(x)=0; – les solutions de l’équationf(x)=1; – le signe def(x) selon les valeurs dex. 3. Lequeldes schémas cidessous pourrait représenter la droiteDet la parabolePcorrespondant à la courbeC? Donner des arguments permettant d’éliminer les autres.Réaliser un autre schéma plausible.
j i O 2
SCHÉMAA
D jiO 2
SCHÉMAC
I  Problèmes introductifs
P
P
D
D
j O i2
SCHÉMAB
D j Oi2
Bien sous tous rapports
SCHÉMAD
P
P
3
E. Sujet d'étude : solution de facilité Sur chacun des graphiques cidessous ont été représentées une droiteDet une paraboleP. On se propose de déterminer, pour chacun d'eux, et à partir des seuls éléments indiqués sur le dessin, la forme de la fonctionfet l’allure de la courbeCqui leur sont associées.
jO i2
P
D
j O 1i
2
P
D
2 On rappelle que siDetPont pour équations respectivesy=mx+p ety=ax+bx+c, la fonctionfmx+p est définie parf(x)=. 2 ax+bx+c 1. Donnerune équation de la droiteDà l’aide du seul paramètrem. 2. Donnerune équation de la parabolePà l'aide du seul paramètrea. 3. Endéduire l’expression def(x), puis la nature deC. m 4. Quelest le signe du quotient? a 5. Donnerl’allure de la courbeC .
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