Bolzano Weierstrass

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Bolzano-Weierstrass Dedou Mai 2012

  • bolzano-weierstrass

  • borne superieure

  • sequent initial


Publié le : mardi 1 mai 2012
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Bolzano-Weierstrass
D´edou
Mai
2012
Le
se´quentinitial
Lese´quentinitial,cest
` ∀ u : N R ,
u born´ee ⇒ ∃ ` : R , σ : N N , σ scroissante
On fait tout ce qui est gratuit :
et
u σ
`.
La
premi`eresalve
Le ´ nt initial, c’est seque
` ∀ u : N R ,
u borne´e ⇒ ∃ ` : R , σ : N N , σ scroissante
On fait tout ce qui est gratuit :
ForallB, ImpB, EtC, ExistC, ExistC
Lenouveaus´equent,cestquoi?
et
u σ
`.
La
premie`resalve
L ´ t i itial, c’est e sequen n
` ∀ u : N R ,
u borne´e ⇒ ∃ ` : R , σ : N N , σ scroissante et u σ `.
On fait tout ce qui est gratuit : ForallB, ImpB, EtC, ExistC, ExistC
Le nouveau ´ uent, c’est seq
u : N R ; m , M : R ; u minor´eepar m ; u majore´epar M
` ∃ ` : R , σ : N N , σ scroissante et u σ `.
La
formule pour `
La formule pour ` , c’est
` := sup A
avec
A := { x : R |∀ p : N , n : N , n p et u n x } .
Avec des mots, A estlensembledesr´eels( x )quisontmajore´spar uneinnite´determesdelasuite u et ` estsabornesupe´rieure.
La formule pour ` depluspr`es
La formule pour ` , ’ t c es
` := sup A
avec
A := { x : R |∀ p : N , n : N , n p et u n x } .
En termes de tactiques : On invoque la ressource qui dit que toute partie non vide et majore´ede R admetunebornesupe´rieure(InvoC),onlapplique`a A (ForallC), on fait ImpC, puis EtB, on prouve facilement que A estnon-vide(ExistB(m)),etmajore´(ExistB(M)...),etonpeut enfin faire ExistC( ` ), suivi de ExistB( ` ).
Le
´ t nt sequen coura
´ ’ Le nouveau sequent, c est
u : N R ; m , M : R ; u minor´eepar m ; u majo ´ r M ; ` : R ; ree pa
A := ... ; ` = sup A
`
σ : N N , σ scroissante et u σ `.
La formule pour σ
Le nouveau sequent, c’est ´
u : N R ; m , M : R ; u minore´epar m ; u majore´epar M ; ` : R ;
A := ... ; ` = sup A ` ∃ σ : N N , σ scroissante et u σ `.
La formule pour σ : Onde´nit σ parre´currence,avec σ O := 0 et
1 σ n +1 = min { p : N | p > σ n et | u p ` | < n + 1 } .
La
formule pour σ depluspre`s
La formule pour σ , en termes de tactiques : Ilfautinvoquerleprincipedere´cursion,biensˆur.Ilfautaussi invoquer l’existence de la fonction min qui retourne le minimum d’une partie non-vide, et disons O pour la partie vide.
Le
se´quentcourant
Lenouveaus´equent,cest
u : N R ; m , M : R ; u minor´eepar m ; u majo ´ r M ; ` : R ; ree pa
A := ... ; ` = sup A ; min : P ( N ) N ; ... ; σ : N N ; σ O := 0;
n : N , σ n +1 = min { p : N | p > σ n et | u p ` | < n +11 }
` σ scroissante et u σ `.
Le point crucial
Le point crucial, c’est l’observation suivante : Pour tout n , l’ensemble dont σ n +1 est le min :
B n := { p : N | p > σ n et | u p ` | < n 1+1 }
est non vide. Et donc on a
n : N , σ n +1 > σ n et | u σ n + ` | 1 1 < n + 1
et le reste est facile.
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