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Publié le : vendredi 1 janvier 2010
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Source : math.unice.fr
Nombre de pages : 11
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Cat´egories
Cate´gories
De´dou
Janvier 2010
Cat´egories
Plan du chapitre
1 Cate´gories
Cat´egories
Lesdonne´esdunecate´gorie
Unecat´egorieC´ueetstictnosepar unensemble(´eventuellementgros)note´obCdes objets deC pour chaque couple (A,B) d’objets deCun ensemble Hom(A,B) des morphismes deAdansB pour chaque triplet (A,B,C) d’objets deCune application A,B,C:Hom(B,C)×Hom(A,B)Hom(A,C) ve´riantdesconditionsquonverraplusloin.
Exemple Les ensembles : soitUun ensemble d’ensembles... c’est l’ensemble desobjetsdunecate´goriedensembles.Lesmorphismessontles applications,lacompositiondelacat´egorieestlacompositiondes applications.
Cat´egories
Votrecat´egorieI
Exo Choisissezvotrecat´egoriefavorite,etindiquez-enlesingr´edients.
Cat´egories
Lesaxiomesdunecat´egorie
Lesdonne´esdunecat´egorieCusvinaetsierv´snoitidnocseltne identit´es... associativite´...
Exemple Lesensembles.Quisontlesidentite´s?Commentprouve-t-on lassociativit´e?
Cate´gories
Votrecate´gorieII
Exo D´emontrezlesaxiomesdecate´goriepourvotrecate´goriefavorite.
Cate´gories
Lunicite´desidentite´s
Exercice Donnezuned´enitionduneidentit´edunobjetdune cat´egorie Montrezquilyaunicite´delidentite´dunobjetdune cate´gorie.
Cate´gories
Variantedescat´egories
Onpeutd´enirlescate´goriesautrement: enmettantlesidentite´sdanslesdonne´es.
Exercice Ecrivezcettede´nitiondesimili-cat´egorie.
Cat´egories
De´nitions´equivalentes
Nimportequelmathe´maticienvousledira: cesdeuxde´nitionsdecat´egoriesont´equivalentes.
Maisquest-cequec¸aveutdire?Unecat´egorieestuntriplet tandisquunesimili-cat´egorieestunquadruplet,cenestdoncpas lame´mechose. Exercice Donnezunsens`alaphraseinformelle:lesd´enitionsdecate´gorie etdesimili-cat´egoriesonte´quivalentes.
Cate´gories
Equivalenceded´enition
Cestquoiunede´nition? Enmaths,cest-`a-direenth´eoriedesensembles,ilnyapasde d´enitions,ilnyaquedesensembles.Doncunede´nitioncestun ensemble.Etune´equivalenceentredeuxde´nitions,c¸apourrait e´treunebijectionentrelesdeuxensembles.Lesbijectionssontles isomorphismesdelacat´egoriedesensembles.
Exercice Explicitezunebijectionentrelensembledescate´goriesetceluides simili-cate´gories(dununivers).
Cat´egories
Equivalenceded´enition(bis)
Mais on veut mieux Onpre´fe´relesd´enitionsquispe´cient,enguisedensemble,une cate´gorie.Parexempleonpr´efe´red´enirlacat´egoriedesgroupes que la notion de groupe (ou que l’ensemble des groupes). Autrementdit,onconside´requelesmorphismesfontpartiedela notion. Donc on doit savoir ce que sont les isomorphismes (ou ´equivalences?)decat´egorie.
Cons´equence
Ducoup,deuxde´nitions´equivalentesdeviennentdeux cat´egories´equivalentes.Maisquesontlesmorphismes, isomorphismes,e´quivalencesdecat´egorie?
Exercice Proposezunede´nitionsimpledecate´goriese´quivalentes.
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