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CENTRE NATIONAL DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE ´ UNIVERSITE de ROUEN
PUBLICATION de l’UMR 6085 ´ ¨ LABORATOIRE DE MATHEMATIQUES RAPHAEL SALEM
´ ´ REMARQUES SUR L’UNICITE DES SOLUTIONS RENORMALISEES ´ COMPARABLES D’EQUATIONS ELLIPTIQUES AVEC SECOND MEMBRE MESURE OlivierGuib´e
Document 2001-05 Universite´deRouenUFRdessciences Math´ematiques,SiteColbert,UMR6085 F 76821 MONT SAINT AIGNAN Cedex Te´l:(33)(0)235147100Fax:(33)(0)232103794
´ ´ REMARQUES SUR L’UNICITE DES SOLUTIONS RENORMALISEES ´ COMPARABLES D’EQUATIONS ELLIPTIQUES AVEC SECOND MEMBRE MESURE
´ OLIVIER GUIBE LaboratoiredeMath´ematiquesRaphae¨lSalem UMR 6085, Site Colbert Universit´edeRouen F-76821 Mont Saint Aignan cedex E-mail :guibe@univ-rouen.fr
Re´sume´.selunu´rraitatptenouenotnonssdonttecsnaDanreeltnsdelicun´eitncco renormalis´eesditescomparablesduproble`menonline´aireelliptiquediv(a(x, Du)) Ω,u= 0 surΩ,ou`µro´nee.tntolaberivaioatadeRdeonsemederuenuts
solutions =µdans
1.Introduction Danscettenote,nousnousinte´ressons`alunicite´delasolutionduproble`meelliptique   (1)diva(x, Du) =µdans Ω, (2)usur= 0 Ω,   N ou`Ωestouvertborn´edeR(N2),u7→ −diva(x, Duponuare´ruetirtsemctten)est 0 1,p 1,p monotone deW(Ω) dansW(Ω) avec 1< p < Netµest une mesure de Radon sur Ω 0 dontlavariationtotaleestborne´e. Danslecaslin´eaireG.Stampacchiaade´nidans[17]lanotiondesolutionpartransposi-tionquipermetdobtenirlexistenceetlunicit´edunetellesolution.Pourp= 2 cette notion seg´ene´raliseaucasnonline´aire(voir[15])et,lexistenceetlunicite´delasolutionobtenue commelimitedapproximationsestprouve´edans[15](voiraussi[2]et[9]pouruneclasse dope´rateursa(x, r, ξ) pseudo-monotones). Si 21p/N < Nubitnoase´´tenoitulos2(-)1(edsdenus)aristdies,istelexunenced de´montr´eeparL.BoccardoetT.Gallou¨etdans[3].Cependant,cettesolutionnestpasunique eng´en´eralcommeleprouvelecontreexempleduˆa`J.Serrin[16],hormisdanslecasp=N enpr´ecisantlaclassedessolutionsconsid´ere´es(voir[8]et[11]). 1 Quandµest une fonction deL(Ω) les notions de solution entropique [1], de solution obtenuecommelimitedapproximations[7]etdesolutionrenormalise´e[13](voiraussi[15]et [14])assurentlexistenceetlunicit´edelasolutionde(1)-(2)(ces3notionssont´equivalentes dans ce cas). QuandµdeonrivaeduradeRnutssemee,F.MMaso.Dalee,Gro´nlabetntotaoi,taru L.OrsinaetA.Prignetontr´ecemmentintroduitdans[5]et[6]unenotiondesolutionrenor-malise´ede(1)-(2)quig´ene´ralisentlestroisnotions(´equivalentes)pr´ece´dentes.Lesauteurs de´montrentdans[6]lexistencedunesolutionrenormalis´eede(1)-(2),desproprie´t´esdesta-bilite´ainsiquedesr´esultatspartielsdunicit´econcernantdessolutionsditescomparables.En particulier,souscertaineshypoth`esessura, siu1etu2losxoituersnmrononseutdede´selasi
´ REMARQUES SUR L’UNICITE DES SOLUTIONS . . .
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(1)-(2) telles queu1u2neitrappaa`tL(Ω) (c’est en cela qu’elles sont comparables) alors u1=u2acst)e(2)(1deeeborpnutnemelleuterteouvl`emL.edelasolunicit´roamil´stuoirnne danslecasg´ene´raletdanscettenotenousaaiblissonscetteconditiondecomparaison.Nous d´emontronsquecetteconditionpeutˆetrelocalise´edansunvoisinageU`ueblleoensedmµest singuli`ereetquilsutdesupposerque(u1u2trapal()ivedeien´egatu1u2) appartient `aL(U).
2.sletesepparotypesh`H N0 SoientΩunouvertborne´deR(N2) etp,p1dlee´rxueeuqslets< p < Net 0N N 1 = 1/p+ 1/p. On suppose quea: Ω×R7→RorodtqyeiluitcnednoaraCe´htestunefo p0N0 existeγ >0,α >0 etbL(Ω) tels que, pour toutξ,ξRavecξ6=ξet pour presque toutxΩ, p (3)a(x, ξ)ξα|ξ|,   0 0 (4)a(x, ξ)a(x, ξ)(ξξ)>0,   p1   (5)a(x, ξ)γ b(x) +|ξ|. Ond´esigneparMb(Ω) l’ensemble des mesures de Radon sur Ω dont la variation totale est borne´eetparM0(Ω) l’ensemble des mesures deMb(Ω) qui sont absolument continues par rapporta`lapcacipae(t´e.i.µ∈ Mb(Ω) etµ(E=)p0outbourtlienor´eEtel que capp(E,Ω) = 0). Pour toutK >eparn0do´esignTK(r) = min(K,max(r,Kontiontrla))ncfoutaca`er la hauteur±K. SiAest un ensemble mesurable, 1lActonafelgnsi´editsire´tcaracnoideuqe l’ensembleA. Onrappelletoutdabordunr´esultatded´ecompositiondemesure(voir[4]et[10]),etla 1,p d´enitiondugradientdunefonctiondontlestronqu´eesappartiennenta`W(Ω) (voir Lemme 0 2.1dans[1]et[13])quisontne´cessairesa`lade´nition(suivant[6])dunesolutionrenormalis´ee de (1)-(2) pourµ∈ Mb(Ω). 0N 1p Proposition 1.Soitµ∈ Mb(Ω). Alors il existefL(Ω),gL(Ω)et deux mesures +positivesλetλdeMb(Ω)resp´eesentrconcdruetnusevemceitelr´boesblemnsxesneiuiqntso +disjointsEetEinclusΩdep-caqueselueletllapic´tne +µ=fdiv(g) +λλ . +De plus si on poseµ0=fdiv(g)alorsµ0∈ M0(Ω)laetmoop´dcenoisitµ=µ0+λλ est unique.
D´enition2.SoituufonetincmeonΩdansusarlbdee´neiedRfinie presque partout et 1,p (u)Wfonction mesurable(Ω) que v telle que pour toutK >0,TK0. Alors il existe une uni N de´niedeΩdansRtelle que K >0, DTK(u1=l){|u|<K}vp.p. dans Ω. Cette fonctionvidardtne´lepgeleestapeu´eoteettnesDu.
Rappelonslade´nitiondunesolutionrenormalise´etellequelleestdonn´eedans[6].