CHAINES DE MARKOV CONSTRUCTIVES INDEXEES PAR Z

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CHAINES DE MARKOV CONSTRUCTIVES INDEXEES PAR Z Jean BROSSARD et Christophe LEURIDAN Prepublication de l'Institut Fourier n? 677 (2005) http ://www-fourier.ujf-grenoble.fr/prepublications.html Resume Nous nous interessons aux chaınes de Markov (Xn)n?Z gouvernees par une re- lation de recurrence de la forme Xn+1 = f(Xn, Vn+1), ou (Vn)n?Z est une suite de variables aleatoires independantes et de meme loi telle pour tout n ? Z, Vn+1 est independante de la suite ((Xk , Vk))k≤n. L'objet de l'article est de donner une condition necessaire et suffisante pour que les « innovations » (Vn)n?Z determinent completement la suite (Xn)n?Z et de decrire l'information manquante dans le cas contraire. Classification math. : 60J05. Mots-cles : chaınes de Markov constructives, chaınes de Markov indexees par Z, filtrations. Introduction Dans cet article, nous nous etudions la filtration d'une chaıne de Markov constructive indexee par Z. Nous appelons chaıne de Markov constructive (homogene) une suite (Xn)n?Z de variables aleatoires a valeurs dans un espace d'etats (E, E) gouvernee par une relation de recurrence de la forme Xn+1 = f(Xn, Vn+1), ou (Vn)n?Z est une suite de variables aleatoires independantes et de meme loi a valeurs dans un espace (G,G), f est une application mesurable de (E?G, E ?G) dans (E, E)

  • chaıne de markov homogene

  • application mesurable

  • image de la loi ?n

  • variable aleatoire mesurable pour ?

  • espace mesurable

  • meme loi

  • theoreme

  • loi uniforme

  • noyau de transition de la chaıne


Publié le : lundi 18 juin 2012
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CHAINES DE MARKOV CONSTRUCTIVES INDEXEES PAR Z
Jean BROSSARD et Christophe LEURIDAN PrepublicationdelInstitutFouriern  677 (2005) http ://www-fourier.ujf-grenoble.fr/prepublications.html
Resume NousnousinteressonsauxchaˆnesdeMarkov( X n ) n Z gouverneesparunere-lation de recurrence de la forme X n +1 = f ( X n , V n +1 ), ou ( V n ) n Z est une suite devariablesaleatoiresindependantesetdemˆemeloitellepourtout n Z , V n +1 est independante de la suite (( X k , V k )) k  n . L’objet de l’article est de donner une condition necessaire et susan te pour que les « innovations » ( V n ) n Z determinent completementlasuite( X n ) n Z etdedecrirelinformationmanquantedanslecas contraire. Classi c ation math. : 60J05. Mots-cles :chaˆnesdeMarkovconstructives,chaˆnesdeMarkovindexeespar Z , ltrations.
Introduction Dans cet article, nous nous etudions la ltration d’une chaˆne de Markov constructive indexeepar Z .NousappelonschaˆnedeMarkovconstructive(homogene)unesuite ( X n ) n Z devariablesaleatoiresavaleursdansunespacedetats( E, E )gouverneepar unerelationderecurrencedelaforme X n +1 = f ( X n , V n +1 ), ou ( V n ) n Z est une suite de variablesaleatoiresindependantesetdemˆemeloiavaleursdansunespace( G, G ), f est une application mesurable de ( E  G, E  G ) dans ( E, E ) et V n +1 estindependantedela suite (( X k , V k )) k  n pour tout n Z .Nousappelonsinnovationslesvariablesaleatoires V n quifournissentlinformationnouvelle(independantedupasse)achaqueinstant.Sous ces conditions, la suite ( X n ) n Z estunechaˆnedeMarkovdansla ltrationnaturellede (( X n , V n )) n Z , de noyau de transition  ou ( x,  ) est la loi de f ( x, V 1 ). Les chaˆnes de Markov constructives fournissent beaucoup d’exemples de chaˆnes de Markovetapparaissentnaturellementensimulation.Ladonneedunevariablealeatoire X 0 et d’une suite ( V n ) n  1 devariablesiid,independantede X 0 permet a construire la suite ( X n ) n Z veri antlarelationderecurrence X n +1 = f ( X n , V n +1 ). En revanche, pour leschaˆnesdeMarkovindexeespar Z , on ne dispose pas de condition « initiale » , et engenerallaconnaissancede X 0 et de la suite ( V n ) n Z ne permet pas de construire la suite ( X n ) n Z . Pour tout entier N (aussi proche de soit-il), la connaissance de ( X n ) n N et de  la suite ( V n ) n Z determinecompletementlasuite( X n ) n Z parlarelationderecurrence X n +1 = f ( X n , V n +1 ). En notant ( F nY ) n Z la ltrationnaturelle(completee)dunesuite 1

devariablesaleatoires( Y n ) n Z , on a donc pour tout n  N , F ( nX,V ) = F NX ∨ F nV . Il est tentant de faire tendre N vers dans cette egalite et d’ecrire F ( nX,V ) = F  X ∨ F nV , comme l’ont fait Kallianpur et Wiener en 1956 dans un contexte semblable (voir [5] pour une discussion de ce point). En fait, il arrive que l’inclusion triviale  \ F NX ∨ F nV  \ F NX ∨ F nV N Z N Z soit stricte et la « proprietedechange » (delintersectiondecroissantesur N avec le supremumdestribus)napaslieuengeneral.Laproprietedechangeaeteetudieede facongeneraleparH.vonWeizsacker[10]. Unexempletressimpledecephenomene,duˆaVinokourovmaisnonpublie,est celui ou ( X n ) n Z est une chaˆne de Markov sur { 1 , 1 } deprobabilitesdetransition p (1 , 1) = p (  1 ,  1) = p et p (  1 , 1) = p (1 ,  1) = q avec p et q positifs de somme 1. Dans ce cas, on peut ecrire X n +1 = X n V n +1 ou V n +1 = X n X n +1 estunevariablealeatoire independantede F n ( X,V ) = F nX et de loi p 1 + q  1 . Bien que la tribu asymptotique F  X soit triviale, l’inclusion triviale F nV  F ( nX,V ) eststricte.Ene et,parsymetrie,la variablealeatoire X n estindependantede F nV (etmeˆmede F + V ), et de loi uniforme sur { 1 , 1 } .Etonveri eimmediatementquelavariablealeatoire X n fournit exactement linformationmanquante,cest-a-direque F ( nX,V ) = F nV  ( X n ). Auvudecetexemple,deuxproblemesseposentnaturellement.Lepremierestde determineraquelleconditionlasuite( V n ) n Z determinecompletementlasuite( X n ) n Z . Lesecondestdedecrirelinformationmanquantedanslecascontraire.Cetarticle,qui etudiecesproblemes,estorganiseentroisparties. Danslapremierepartie,nousnousplaconsdanslecadredunechaˆnedeMarkov inhomogenegouverneeparunerelationderecurrence X n +1 = f n ( X n , V n +1 ). Nous mon-trons que les tribus asymptotiques F  X ,V et F  X sontegalesetetudionsdefacongenerale la loi conditionnelle de X sachant  ( V ) ∨ F X,V . Dansladeuxiemepartie,nousnousplaconsdanslecadredunechaˆnedeMarkov homogenesurunespacedetatsdenombrable.Lorsquelachaˆne( X n ) n Z estirreductible aperiodique et stationnaire, nous donnons une condition necessaire et susan te pour que la suite d’innovations ( V n ) n Z determinecompletementlachaˆne( X n ) n Z . Cette conditiongeneraliseetameliorelaconditionsusante,maisnonnecessaire,donneepar Rosenblatt dans [9]. Danslatroisiemepartie,nousnousplaconsdanslecadredunechaˆnedeMarkov homogenesurunespacedetats nietnousdecrivonsplusprecisementlinformation manquantelorsquelasuitedinnovationsnedeterminepascompletementlachane. ˆ
1ChaˆnesdeMarkovconstructivesinhomogenes Dans cette partie, X = ( X n ) n Z estunechaˆnedeMarkovinhomogenegouverneepar une suite de variables V = ( V n ) n Z et une suite d’applications ( f n ) n Z .Plusprecisement, pour tout n Z : X n estunevariablealeatoireavaleursdansunespacemesurable( E n , E n ) ; V n +1 estunevariablealeatoireavaleursdansunespacemesurable( G n +1 , G n +1 ) independantedelasuite(( X k , V k )) k  n
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