Cobordisme complexe des espaces profinis et foncteur T de Lannes

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Cobordisme complexe des espaces profinis et foncteur T de Lannes par Franc¸ois-Xavier Dehon(1) Extrait Table des matieres Appendice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Appendice A. Monades et algebres sur une monade . . . . . . . . . . . . . . 2 A.1. Diagrammes coegalisateurs et monades . . . . . . . . . . . . . . . . 2 A.2. Monades et adjonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 A.3. Application : Monades et categories abeliennes. . . . . . . . . 11 A.4. Resolutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Appendice B. Produits tensoriels et torsion . . . . . . . . . . .

  • existence de s?

  • m1 ???

  • c0 ?

  • complexes c1 ???

  • cobordisme complexe des espaces profinis

  • diagramme coegalisateur

  • morphisme

  • complexes de cab


Publié le : lundi 18 juin 2012
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Cobordisme complexe des espaces profinis et foncteur T de Lannes par Fran¸cois-XavierDehon (1) Extrait Tabledesmatie`res Appendice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 AppendiceA.Monadesetalg`ebressurunemonade..............2 A.1.Diagrammesco´egalisateursetmonades................2 A.2. Monades et adjonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 A.3.Application:Monadesetcat´egoriesabe´liennes.........11 A.4.Re´solutions............................................14 Appendice B. Produits tensoriels et torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 AppendiceC.Limitesetd´erives..................................19 ´ Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
(1) Lauteurabe´n´ecie´pendantlarealisationdecetravaildunebourseindividuelleMarieCuriede ´ laCommissioneurope´enne(HPMF-CT-1999-00135).
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Appendice A Monadesetalge`bressurunemonade Lesnotionsetre´sultatsquisuiventsontclassiquesenthe´oriedescat´egories;nous renvoyonsa`[ Bor ,Chap.4]pourunexpose´plusge´n´eral.Lexpos´equisuitest motiv´eparnotreusageconstantdesmonadesetalge`bressurunemonadespourdune partexprimerlesstructuresadditivesetdalg`ebreinstabledelaMU-cohomologie continuedunespacepronietdautrepartconstruirecertainsfoncteursassoci´es`a cesstructures(produittensoriel,foncteursdedivision).Sonoriginalite´tient`aceque nousnousrestreignonsauxmonadesavaleursdanslacat´egoriesdesgroupesab´eliens ` gradue´s(plusge´ne´ralementdanslacate´goriedesobjetsengroupesab´eliensdune cat´egoriesouscertainesconditionssurcettecate´gorie).Lesco´egalisateursr´eexifs dalg`ebressurunetellemonadesontscinde´sdanslacate´goriedesensemblesgradue´s, cequientraˆınedesproprie´te´sdexactitudetr`esfortesdesfoncteursde´nissurla cat´egoriedesalg`ebressurlamonade. Lapremie`resection(A.1)traitedescoe´galisateursde1-complexes(oucoe´galisa-teursr´eexifs)dobjetsengroupeabe´lien(propositionA.1.2)pourensuitemontrer lexistencedescolimitesdediagrammesdalg`ebressurunemonadedonn´ee T (propo-sitionA.1.5)etdonneruncrit`eredexactitudea`droitedunfoncteurd´enisurles T -alge`bressouscertaineshypothe`sessur T (proposition A.1.6). Elle se termine par la notion de sous-T -alg`ebreetde T -alge`brequotientlorsque T est une monade sur la cate´goriedesensemblesgradue´s. LasectionA.2conside`relamonadeassoci´eea`unepairedefoncteursadjointset montrecommenton´etendparexactitude`adroiteunfoncteurd´enisurlesobjets libresenunfoncteurde´nisurtouteslesalge`bresassocie´es`alamonade(proposition A.2.2).Onend´eduitunevarianteduth´eor`emedeBeck(propositionA.2.4). DanslasectionA.3onappliquecequipre´c`edepourcaracte´riserlesmonadesdont lacate´goriedalg`ebresassoci´eeestabe´lienne(propositionA.3.2). Laderni`eresection(A.4)traitedesr´esolutions:notiondecomplexeaugment´e acycliquerelativementa`uneclassedobjetsencogroupesab´eliens,versionsimpliciale, r´esolutionsdanslacate´goriedesalge`bressurunemonade.Nousrenvoyons`a[ BB ] pourdescompl´ementssurcedernierpoint.
A.1.Diagrammescoe´galisateursetmonades.Soit C unecate´gorie.Nous appelons 1-complexe de C et notons C 1 C 0 un couple de morphismes d 0 , d 1 : C 1 C 0 entre deux objets de C muni d’une section commune s 0 : C 0 C 1 . Dualement nous appelons 1-cocomplexe de C un couple de morphismes C 0 C 1 muni d’un retract commun. Nous dirons qu’un diagramme C 1 ←→→ C 0 C estco´egalisateursilemorphisme C 0 C fait de C lecoe´galisateurdesdeuxmorphismesd 0 et d 1 : C 1 C 0 (Nous dirons alors aussi que C estlecoe´galisateurdu1-complexe C 1 C 0 ). Idem pour
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lesdiagrammes´egalisateurs.Observonsquesi C 0 et C 1 sont deux objets de C ad-mettant une somme C 1 t C 0 dans C ,lecoe´galisateurduncoupledemorphismes C 1 C 0 coı¨ncideaveclecoe´galisateurdu1-complexe C 1 t C 0 ←→ C 0 obtenu en prenantlidentit´esur C 0 . Soient f et g deux morphismes entre 1-complexes C 1 C 0 et D 1 D 0 ( f = ( f 0 : C 0 D 0 , f 1 : C 1 D 1 ),etc.).Unehomotopieendegre´0de f vers g est un morphisme h : C 0 D 1 tel que d 0 h = f 0 et d 1 h = g 0 . Nous dirons qu’un morphisme f : 4 → 4 0 entre1-complexesestunee´quivalencedhomotopieendegre´0silexiste un morphisme g : 4 0 → 4 etdeshomotopiesendegre´0de gf verslidentit´ede 4 et de f g verslidentit´ede 4 0 . Exemple. Ladonn´eedunmorphismedun1-complexe C 1 ←→→ C 0 dans le 1-complexe constant C C associ´ea`unobjet C ´equivaut`aladonn´eedunmorphisme g : C 0 C tellequelescompos´ee g d 0 et g d 1 soiente´gales.Untelmorphismeest ´quivalcedhomotopieendegre´0sietseulementsilexistedesmorphismes une e en s : C C 0 et s 0 : C 0 C 1 telsquonaitlesidentit´es gs = Id C , d 1 s 0 = Id C 0 , d 0 s 0 = sg . Lemme A.1 1 — (a) Soient 4 , 4 0 deux 1 -complexes de C admettantuncoe´gali-. . sateur et f, g deux morphismes 4 → 4 0 . Si f esthomotopeendegre´ 0 `a g alors f et g induisentlesˆhientrelescoe´galisateurs. memes morp smes (b) Soient C un objet de C et f un morphisme d’un 1 -complexe C 1 C 0 dans le diagramme constant C ←→ C . Si f estune´equivalencedhomotopieendegre´ 0 alors le diagramme C 1 C 0 C estco´egalisateur. D´emonstration . — Le point (a) est facile. Pour le point (b) choisissons des morphismes s , s 0 v´eriantlesidentite´s f 0 s = Id C , d 0 = Id C 0 , d 0 s 0 = sf 0 . Soit g : C 0 D un morphisme 1 s dans C ´egalisantd 0 et d 1 ; alors g est´egala`lacompos´ee gsf 0 donc se factorise par C 0 C . Cette factorisation est unique car C 0 C admet une section. Nous dirons qu’un diagramme C 1 C 0 C estundiagrammecoe´galisateur scind´e(ouque C estuncoe´galisateurscind´edu1-complexe C 1 ←→→ C 0 ) si le morphisme C 0 C induitune´equivalencedhomotopieendegr´e0de C 1 ←→→ C 0 dans le 1-complexe constant C C .Lapropri´t´edeˆtrescind´eestpre´serv´eepartoutfoncteur. e Onabiensuˆrlemeˆmeformalismeetlesmeˆmesenonc´espourles1-cocomplexesde ´ C . Si C poss`edetouslesproduitsnis(enparticulierunobjetterminal),onnote C ab lacate´goriedesobjetsengroupeabe´liende C ,cest-`a-diredesobjets C ∈ C munis d’un morphisme C × C C faisant de Hom C ( C 0 , C )ungroupeab´eliennaturelen C 0 ∈ C . Tout diagramme de C ab qui admet une limite dans C admet une limite dans C ab et l’oubli C ab → C commute aux limites. En particulier l’objet terminal de C est l’objet nul de C ab .Lessommesniescoı¨ncidentaveclesproduitsnisdans C ab . Soit alors M 1 M 0 un 1-complexe de C ab et supposons l’existence des noyaux. Lacompos´ees 1 d 1 est un projecteur de M 1 ; notons M 1 0 son noyau et d la restric-tion de d 0 `a M 0 1 . On dispose d’un isomorphisme canonique dans C ab du 1-complexe
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