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L'Enseignement Mathématique Colin de Verdière, Yves UNE INTRODUCTION À LA MÉCANIQUE SEMI-CLASSIQUE Persistenter Link: L'Enseignement Mathématique, Vol.44 (1998) PDF erstellt am: Jan 10, 2011 Nutzungsbedingungen Mit dem Zugriff auf den vorliegenden Inhalt gelten die Nutzungsbedingungen als akzeptiert. Die angebotenen Dokumente stehen für nicht-kommerzielle Zwecke in Lehre, Forschung und für die private Nutzung frei zur Verfügung. Einzelne Dateien oder Ausdrucke aus diesem Angebot können zusammen mit diesen Nutzungsbedingungen und unter deren Einhaltung weitergegeben werden. Die Speicherung von Teilen des elektronischen Angebots auf anderen Servern ist nur mit vorheriger schriftlicher Genehmigung des Konsortiums der Schweizer Hochschulbibliotheken möglich. Die Rechte für diese und andere Nutzungsarten der Inhalte liegen beim Herausgeber bzw. beim Verlag. SEALS Ein Dienst des Konsortiums der Schweizer Hochschulbibliotheken c/o ETH-Bibliothek, Rämistrasse 101, 8092 Zürich, Schweiz

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Publié le : lundi 18 juin 2012
Lecture(s) : 54
Source : www-fourier.ujf-grenoble.fr
Nombre de pages : 31
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L'Enseignement Mathématique
Colin de Verdière, Yves
UNE INTRODUCTION À LA MÉCANIQUE SEMI-CLASSIQUE
Persistenter Link: http://dx.doi.org/10.5169/seals-63894
L'Enseignement Mathématique, Vol.44 (1998)
PDF erstellt am: Jan 10, 2011
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retro@seals.ch
http://retro.seals.chÀ LA MÉCANIQUE SEMI-CLASSIQUE*)UNE INTRODUCTION
Yves VerdièreColin depar
àRÉSUMÉ. l'usageCe texte est introduction àla mécanique semi-classiqueune
des non-spécialistes.
de lalesavoir contextes mécanique classique (géométrie symplecAprès rappelé
àlade la on introduit mécanique semi-classique partirmécanique quantique,tique)et
de dede Fourier ettransformations Legendre, principe Huygens.d'exemples simples:
dules de et laOn ensuite formules tracedécrit semi-classiques problématique
chaos quantique.
1. Introduction
de deLe but de est servir etces motivation d'introduction auexposés sujet.
Du de de la il de débutpoint vue physique, s'agit techniques qui remontent au
de la : le de deaffirmemécanique quantique principe correspondance façon
la la deest limite lamécanique classique mécaniquevague que quantique
Hdela êtreconstante Planck considéréelorsque comme autrementpeut petite,
Sdit les actions h.en sont devant Bien direjeu grandes sûr,que qu'une
théorie est limite d'une théoriephysique une autre estphysique un concept
du savoir faire du degrande estimportant puisqu'une partie physicien prévoir
est et est Lace qui ce qui limitepetit grand. estquantique -classique plus
la àlimite se réduit descomplexe relativiste-galiléen qui essentiellementque
~ où lalimités c est vitesse de ladéveloppements en lumière.,
c
le début de la àleDepuis lamécanique quantique, limitepassage
est traité des moinssemi-classique règles plus ou lespar empiriques:
BKW et les dedéveloppements conditions(Brillouin-Kramers-Wentzel) quan
tificationdeBohr-Sommerfeld font ainsi de de base dupartie l'outillage
) leRédaction donnés dans cadre ded'exposés rencontres et 25Genève-Grenoble-Lyon (24
avril 1997)Ces méthodes ont leurs limitationsphysicien quantique. diffiintrinsèques:
decultésliéesaux dire chose de surcaustiques, impossibilité quelque précis
les dans les cas (i.e.non complètement intégrables génériques).spectres
Du de les de Hôrmanderpoint vue mathématique, travaux Maslov, Leray,
en dérivées linéaires danséquations aux partielles (analyse micro-locale),
les années donné assise et solide calculs des65-70, ont naturelleune aux
En de deméthodes décrirephysiciens. ces façon préciseparticulier, permettent
le des laet des des fonctions d'ondesnaturecaustiques déphasagespassage
deen ces points (indice Maslov).
à lade de etces méthodesL'application aux équations Schrôdinger
delimite ondulatoire agéométrique connu un grandl'optique développement
deles années 70. Ces des résultatstravaux surdepuis s'appuient plus
fins de desen hamiltoniensplus mécanique classique systèmes (systèmes
théorie flots mêmed'Anosov) encomplètement intégrables, KAM, temps que
dedes variées estimationssur techniques d'analyse (intégrales oscillantes, type
deméthodeselliptique, développements tiques, resommation,asympto passage
le des desdans Un clés est l'étudecomplexe). problèmes semi-classique
des valeurs desd'opérateurs: asymptotique grandes laplaciensspectres propres
du ded'unriemanniens, opérateur Schrôdinger lorsqueasymptotique spectre
ft-^o+.
le leavoir brièvement formalisme hamiltonien et formalismerappeléAprès
le dedécrirai la limitequantique, je problème semi-classique.
Je du leensuite endepuis casparlerai spectre: complètement intégrable,
à considère desviendrai ce je l'unKAM, j'en comme pluspassant par que
de la la des dite derésultats théorie, formule traces Gutzwiller dont jejolis
debaséedonnerai sur Feynman.une heuristique l'intégralepreuve
Je de du duenfin fine et liensemi-classique avecparlerai l'analyse spectre
la des matrices aléatoires.théorie
Je de idéesl'occasion introduire deux je trouveveux profiter quepour
:etstimulantes soumetsje vousque
de laest limite1) La certes unemécanique classique mécanique quantique,
aussimais la est hamiltonienquantique un système classique
le leet la dimension infinie n'en est fait plus(linéaire) pas important.particulier
est habituellement liée2) La limite présentée ausemi-classique comme
de la et essentiellement ducaractère linéaire mécanique quantique dépendant
:de elle est aussi liée(phase au phénomènesuperposition stationnaire)principe
de est und'oscillations rapides (méthode moyennisation) qui analogue non
la stationnaire.linéairede phase2. La mécanique classique
[51].Pour cette voir [3], [4], [28], [44], [48], [49], [50],section, [I],
2.1 GÉOMÉTRIE SYMPLECTIQUE
Lades du variétéest une (Z,w).L'espace phases système symplectique
Cedu de lac'est T*X structureun équipé canonique.plupart temps, cotangent
duêtre aussi variété lisseune sous- complexe équipépeut algébrique projectif
de la de la kaehlériennestructure structure ousymplectique partie imaginaire
àvariété desobtenue réductionune partir précédentes.par symplectique
>On donne ensuite Z — duse fonction H: R, l'hamiltonienune système.
On associe le de delui champ vecteurs A#, H, quigradient symplectique
la ladonne Il est du décritedynamique. classique dynamique systèmeque par
le deflot (j) H et la formeXn préserve ujt .
Les de baseexemples sont
n2.1.Exemple T*R etZ=
la étant celle d'une ledynamique dans V, et £ étantparticule potentiel
V impulsion.
EXEMPLE 2.2. oùT*X X estZ= variété deune riemannienne métrique
etg
où la àg* est leassociéemétrique g sur donnée en coordonnéescotangent
2
Vlocales inverse de )(g dsavecpar = ttJ Y,9ijdx dxj.g=
La est alors celle dudynamique flot géodésique.
nEXEMPLE 2.3. P CZ= est muni d'une structure (àsymplectique peu
/7+1à C/7+lCprès) associéecanonique, une structure hermitienne considèresur :on
/î+1C/î+lCla deunitésphère cette métrique hermitienne. Lapour structure
n+1Cn+l,Cdesymplectique de la
, partie imaginaire forme hermitienne, induit une
le2-forme cette dontsur sphère est constitué l'actionnoyau par infinitésimale
nde Le de P CU{\). quotient cette action est estqui ainsi symplectisé.
le central enL'objet plus géométrie est doute lasymplectique sans variété
lagrangienne.Une sous-variété L ded'une variétélagrangienne symplectique (Z,cj)
2n la dedimension est sous-variété forme ou et dimension nune .isotrope pour
àSi si leZ T*X et L section donc= est d'une (et s'identifiegraphe
1 sila donnée L si lad'une -forme est et seulementsur X), lagrangienne
1 S-forme est fermée. Si L dit est= (jc, on unecorrespondante £'(*)), que
defonction Si L —> X la la L estestgénératrice. projection, caustiquep:
le de L des où la Ilsous-ensemble formé est estcritique.points projection
la la dessuite d'étendre notion deimportant fonction au casgénératricepour
: àcela Onremonte Maslov et Hôrmander. en trouvercaustiques déjàpeut
dansl'idée etHuygens Feynman.
1Figure
Variétés etlagrangiennes caustiques
de la dede variété notionLa notion lagrangienne généraliserpermet
dusolution d'une EDP linéairenon type:
de Hamilton-JacobiL'équation
deeiconaleet l'équation l'optique
desen sont cas particuliers.devariété lagrangienneest unesolution simplementUne telle généralisée
0dans H = .T*X contenue
à BienXHX telle variété.est unele champ tangentOn voit facilement Hque
desdes trajectoires).il a (enveloppecaustiquessûr, en général, y
Là sous-variété lagrangienneattachée uneUne notionautre importante
définidules feuillessont feuilletagede d'ondes: cede celle frontsT*X est
Leursde Çdx. projectionsà de la 1-forme Liouville a =la Lrestrictionpar
d'ondes.aussi frontsX appelléessontsur
2Figure
Variété et fronts d'ondeslagrangienne
2.2 génératricesVariétés etlagrangiennes fonctions
des et doncUne variété a en nelagrangienne général caustiques peut
àOn aêtre fonction naïve.une génératrice recours unereprésentéepas par
N
R Si lesde fonctions considère fronts d'ondesfamille <p(x,9), 66 . on
| leur est donnée= —{x (p(x,6) a}, enveloppe classiquement commeFq^
des solutions de 0. Al'ensemble = de^p = cette esttp enveloppe asa,
des des desociéel'ensemble (p) se être,(x,d qui trouve sous hypothèsesx
variété Onune retrouve une constructionnon-dégénérescence, lagrangienne.
d'une de fronts d'ondes frontfamille est und'Huygens: l'enveloppe nouveau
d'onde.
C'est théorème variété admetun toute lagrangienne une représentationque
de du àUne telle desce famille est reste élémentairesunique opérationstype.
àc'est théorème dûun Hormander.près:>La situation est celle d'une F: E — X et d'unefibrationgéométrique
deSi L le de dansfonction est d(p contenucp: E-^R. o graphe T*E, on passe
à L la de laLq réduction associée fibre conormal fibration.ausymplectiquepar
>En si R £lC: TX — est et l'ensembleunparticulier, lagrangien régulier t
de >des £] X X X — et[0, -+ flbré xapplications sur (7(0), 7(0)7: par 7
/
/JQJ la le du= C( variété associée est0(7) (s))ds, lagrangienne graphey(s)^Q
C deflot hamiltonien associé la transforméeau(p t lagrangien Legendre.par
àLa fonction O est bien sûr reliée degénératrice l'intégrale Feynman.
3. La mécanique quantique
Pour cette section, voir [10], [32], [39], [47], [43].
Ici des de deest Hilbert dimensionl'espace phases un (parfoisespace
être le de maisc'est cetfinie); plus précis, projectif complexe espace,pour
détail.on cepeut négliger
La est donnée d'un Hau opérateur (avecdynamique auto-adjointmoyen
à deHdomaine) sur grâce l'équation Schrôdinger:
àle ledont flot est unitaires donnéun paramètre d'opérateursgroupe par:
n[tB lU(t) e-= .
h làLa n'est faire Hconstante en généraluniquement joli,pas pour
het donc a les dimensions d'uneest action, on neune énergie car peut
! !des dimensionquantités sansexponentier que
2 n
) V. V deEXEMPLE 3.1. L et On alors(R aH= H= équation-^A+
Schrôdinger.
2
A9AL où leEXEMPLE 3.2. et est(X) H= , laplacienH= yA 9 9
deOn associéeriemannien. a aul'équation Schrôdinger flot géodésique.
nSi E le PEXEMPLE 3.3. est C, considèrefibre sur onanti-canonique
Ndes de E® àV de sectionsHilbert qui s'identifie l'espaceholomorphesespace
n+1Cn+l.Cde Ndes .homogènes degré surpolynômes
nP C les deSi —+ R, considèreH: on opérateurs Toeplitz = Un (Htp),H^(f
des lesoù la sections sectionsest holomorphes.ri/y projection orthogonale sur
Voir [19].de du n'estLa ressemblance les etentre ce précédentexemples paragraphe
le voir.fortuite, on vapas comme
Il faut aussi la est un casmécanique quantique particulierqueremarquer
de la oùcelui est forme hermitiennel'hamiltonien unemécanique classique,
de De de il très laHilbert. ce n'est excitant:sur un pointespace vue, pas
deles fondamentales étant liéesestdynamique quasi-périodique, fréquences
deau H.façon simple spectre
Les desentre etcorrespondances phases classiques quantiquesespace
2 de(flèches entre êtrecatégories) peuvent prolongées façon heuristique, par
etentre volume entre variétésexemple correspondance dimension, lagrangi
deentre etenneset vecteurs, produits tensoriels, entreproduits changement
de etuo dual.signe aupassage
Pour être de laplus pédant, on dontpourrait parler catégorie symplectique
1les les àsont variétés et les de Z Z lesobjets flèchessymplectiques sous
/
de Z de la(Z x etvariétéslagrangiennes \u' hilbertienne dontcatégorie-v)
les les deobjets sont Hilbert et les flèches les unitaires.opérateursespaces
On le deobtient ainsi tableau suivantcorrespondance est intéressantqu'il
ded'essayer prolonger!!4. La mécanique semi-classique
Pour voircette section, [2], [25], [29], [32], [42], [44], [51].
4.1 Introduction
de laDu estpoint vue physique, mécanique quantique commeapparue
nécessaire la dans certaines situationsremplacer mécanique classiquepour
et desmolécules,(atomes physique étoiles).
De doit êtremême, unel'optique géométrique remplacée optiquepar
ondulatoire (Maxwell).
Le est l'étude d'EDP linéaires d'un (oupoint commun dépendant petit
de h valeursgrand) avec grandesparamètre: équation Schrôdinger petit,
à desdu solutions"riemannien,laplacien grandes fréquences équationspropres
de Maxwell.
de la deOn aussi considérer façon plus générale dégénérescencepeut
finie d'unhamiltoniens (en dimension ousystèmes infinie) dépendant petit
ded'autres hamiltoniens dimensionparamètre vers systèmes plus petite.
:de le de lesLa méthode est limitesun cesmoyennisation prototypepeu
à àdu donnent lieuoscillations rapides système (penser un ungyroscope)
àet lente estentre une quidécouplage dynamique rapide une dynamique
des réduit.hamiltonienne phasesnouveau sur un espace
3Figure
deMéthode moyennisation
Si considère hamiltonienon un
de 2n lesdimension etvariétésur une symplectique qu'on suppose que
de dans la couche EH sonto contenues d'énergie o périodiquestrajectoires
la dede introduire variété dimension7b, on symplectique Z^période peut oE etdans la couchede H d'énergie odes contenueso2(n trajectoires-1)
décrivantla de une dynamiquemunir l'hamiltonien K=moyenne jrf^Hidt
deslede décrit bienles H Cette. dynamique comportementsur trajectoires o
1.dede dede H dans intervalle l'ordretrajectoires un temps£
4.2 La phase stationnaire
Voir [36].
lale dans suite ceDans (linéaire), découplagecas qui nous préoccupe
side la : considèreest stationnaire on uneune phase intégraleconséquence
:duoscillante type
!n
> leoù S: R — R C°° et Gest a asymptotiqueC^(R \C), comportement
h Sde 0 les de situéstend est contrôléquand vers pointsI(h) critiquespar
dans le de ceux-ci aa. sont on une formuleLorsque non dégénérés,support
le Les lesfaits sontexplicite développement asymptotique. remarquablespour
2h!^ àle il de lasuivants: est liée l'indiceen une phasecomportement , ya
de Shessienne aux points critiques.
si SPlus n'aprécisément, qu'un point critique supposé non dégénéré xo
le de dedans a signature on a:support a,
Le coefficient admetprincipal (amplitude) une interprétation géométrique
de 2 :densité relative lacomme en et lamesures x 0 mesure a{x)dx mesure
àassociée S" Cette àcanoniquement (comme en riemannien). estremarque
de la du calcul desl'origine géométrisation oscillantes.intégrales
3Donnons de la :applications semi-classiques simples phase stationnaire
Exemple 4.1 (Fourier et Legendre).
>•S: U RSoit — une C°°fonction Udéfinie sur un C R" etouvert
>—x S'(x) est un C°° de Usupposons que difféomorphisme unsur ouvert
V du dual de R" :Soit alors V—> R la. des(£) de Stransformée Legendre
caractérisée par
normalisée ) )S(Ç £o0 + S(x 0 = x o un £par = S'(x ).pour point 0 0

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