Composition des applications lineaires

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Composition des applications lineaires Dedou Novembre 2010

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Publié le : lundi 1 novembre 2010
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Compositiondesapplicationsline´aires
D´edou
Novembre 2010
Exemple de composition
Exercicere´solu Calculezlacompos´eegfavec     x+y3x+ 5y+ 7z g:= (x,y)7→,f:= (x,y,z)7→. xy2x+ 2y+ 2z
Solution On calcule (gf)(x,y,z) = (g(f(x,y,zlednmocaisopnoit)()rdpan´eioit) =g(3x+ 5y+ 7z,2x+ 2y+ 2z)p(ra´deindeontif) = (5x+ 7y+ 9z,x+ 3y+ 5zdrap()itio´enndeg). Lacompose´egfest donc   5x+ 7y+ 9z (x,y,z)7→. x+ 3y+ 5z
Exercice
Exo 1 Calculezlacompose´egfavec     2x+y3x+ 3y+ 3z g:= (x,y)7→,f:= (x,y,z)7→. x+ 2y2x+ 4y+ 6z
Line´arit´edelacomposition:e´nonce´
Proposition Lacompos´eededeuxapplicationsline´airesestencoreline´aire.
Plusformellement,c¸aselit:
p,q,rN,fLq,r,gLp,q,
gf
estlin´eaire.
Lin´earite´delacomposition:preuve
Soientp,q,rtrois entiers,fdansLq,retgdansLp,q. Pour montrer quegfutfantmoireaile,etsil´n:rer
r λ, µR,u,vR,(gf)(λu+µv) =λ(gf)(u)+µ(gf)(v).
On a (gf)(λu+µv) =g(f(λu+µv)) =g(λf(u) +µf(v)) =λg(f(u)) +µg(f(v)) =λ(gf)(u) +µ(gf)(v)
(parde´nitiondelacomposition) (parlin´earite´def) (parline´arite´deg) (pard´enitiondelacomposition).
Carte de visite des compositions
On rappelle queLp,qse´dmbsedeleneigenlitnolsniasppilac´eaires q p deRdansR.
p,q,r:Lp,q×Lq,r (g,f) (g,f) Etilfautvoir¸cacommesuit:
7
Lp,r gf (v7→g(f(v)).
f g r q p R−→R−→R.
Surcharge pour les compositions
Notation On note toutes les compositions d’applications avec le seul signe.
Exo 2 Sachant quehest dansLp,qetfdansLr,s, dites quelles sont les compositions(lin´eaires)gurantdanslaformuledassociativite´
(hg)f=h(gf).
Associativite´delacomposition:´enonce´
Proposition Lacompositiondesapplicationslin´eairesestassociative.
Plusformellement,c¸aselit:
p,q,r,sN,hLp,q,gLq,r,fLr,s,(hg)f=h(gf).
Associativit´edelacomposition:de´monstration
p,q,r,sN,hLp,q,gLq,r,fLr,s,(hg)f=h(gf).
Preuve Soientp,q,r,s,f,g,hreren´slanedmmcotnomtiodnO.e´cno (hg)f=h(gf) autrement dit s uR,((hg)f)(u) = (h(gf))(u).Soit doncu s quelconque dansRaPdre´n.lednoitiisopmoca,onti on a ((hg)f)(u) = (hg)(f(u)) =h(g(f(u))). Etdemeˆme(h(gf))(u) =h((gf)(u)) =h(g(f(u))). On a donc bien ((hg)f)(u) = (h(gf))(u). Cqfd.
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