Composition des dilatations

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Composition des dilatations Dedou Novembre 2009

  • composition des translations

  • composees de dilatations


Publié le : dimanche 1 novembre 2009
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Comp
osition
des
D´edou
Novembre
dilatations
2009
Partieline´airedunecompose´e
Proposition Lapartieline´airedelacompos´eededeuxapplicationsanesestla composeedesdeuxpartieslin´eaires. ´
Etc¸aseprouve.
Exo Calculezlapartieline´airedelacompose´e f g pour f := ( x , y ) 7→ (4 x + 1 , 4 y + 2) et g := ( x , y ) 7→ (3 x + 5 , 3 y + 7) .
Compos´eesdedilatations
Proposition Lacompos´eededeuxdilatationsestunedilatation.Lerapportde lacompos´eeestleproduitdesdeuxrapports.
¸ p ouve. Et ca se r
Exo Quelestlerapportdelacompose´edesdeuxdilatations f := ( x , y ) 7→ ( 2 x + 1 , 2 y + 2) et g := ( x , y ) 7→ (3 x + 5 , 3 y + 7) ?
Compos´eesdetranslations
Proposition Dansunespacevectoriel,lacompose´edestranslationsde v et w est la translation de vecteur v + w . La composition des translations est (donc) commutative.
Et¸caseprouve.
vecteurs
Compose´edunetranslationetdunehomoth´etie
Proposition Lacompose´edunehomoth´etiederapport k di´erentde1avec unetranslationestunehomoth´etiederapport k .
Et¸caseprouve(lestranslationssontlesdilatationsderapport1).
Exo Calculer f g pour f := x 7→ 2 x et g := x 7→ x + 1 .
Compos´eededeuxhomoth´eties
Proposition Lacompose´
Lacompose´ ededeuxhomothe´tiesderapport k et k 0 est une homoth´etiederapport kk 0 si kk 0 estdi´erentde1etune translation si kk 0 = 1.
Etc¸aseprouve.
Commutativit´e
Commeonlade´ja`vu,lacompositiondesdilatationsnestpas commutative.
Exo Calculezlesdeuxcompos´eesde f := x 7→ 2 x + 3 et de g := 2 x .
R´eciproqueduneapplication
D´enition Lar´eciproquedplication f : E F est une application une ap g : F E telle que f g soitlidentit´ede F et g f soitlidentite´ de E .
Exemples Dans R 2 , lar´ecioptrho´eqtuieeddeerlahpopmorotth 3 ´etievectoriellederapport 32 est l’hom 2 lare´ciproquedelatranslationdevecteur(2 , 3) est la translation de vecteur ( 2 , 3).
Certainesapplicationsnadmettentpasdere´ciproque. Maisquandelleexiste,lare´ciproqueestunique.
Applications bijectives
De´nition On dit d’une application f : E F qu’elle est bijective quand elle admet une reciproque ´
Exemple La fonction f := x 7→ x 2 (de R dans R ) n’est pas bijective : 1 a deux antecedents par f et 1 n’en a aucun. ´ ´
Proposition Une application f : E F estbijectivessitoute´l´ementde F admetexactementunante´ce´dentpar f .
Lapplicationreciproquecalculejustementcetuniqueante´ce´dent. ´
Calculdelar´eciproque
Pourcalculerlare´ciproquede f ,onr´esoutle´quation f ( x ) = x 0 `a l’inconnue x (entraıˆtant x 0 commeunparam`etre).Silasolution est x = g ( x 0 ), cela signifie que g estlar´eciproquede f .
Exemple Pourcalculerlare´ciproquede( x , y ) 7→ (3 x + y , x +1),onre´sout lesyst`eme
3 xx ++1 y == y 0 x 0 .
Exo Calculezlare´ciproquede( x , y ) 7→ (3 x + y , x + 1).
R´eciproquedunetranslation
Proposition Lare´ciproquedelatranslationdevecteur v est la vecteur v .
Exo Donnezlare´ciproquede( x , y ) 7→ ( x + e , y π ).
translation
de
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