Construction de valeurs propres doubles du

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Construction de valeurs propres doubles du laplacien de Hodge-de Rham Pierre Jammes Résumé. Sur toute variété de dimension au moins 3, on construit une métrique telle que la première valeur propre non nulle du laplacien agissant sur les p-formes di?érentielles soit double. On en déduit qu'on peut prescrire le volume et le début du spectre du laplacien de Hodge-de Rham avec multiplicité 1 ou 2. Mots-clefs : formes di?érentielles, laplacien de Hodge-de Rham, multiplicité de valeurs propres. Abstract. On any compact manifold of dimension greater than 3, we exhibit a metric whose first positive eigenvalue for the Laplacian acting on p-forms is of multiplicity 2. As a corollary, we prescribe the volume and any finite part of the spectrum of the Hodge Laplacian with multiplicity 1 or 2. Keywords : di?erential forms, Hodge Laplacian, multiplicity of eigenvalues. MSC2000 : 58J50, 58C40 1. Introduction Y. Colin de Verdière a montré dans [CdV86] que pour toute variété rie- mannienne compacte M de dimension supérieure ou égale à 3 et tout entier N ≥ 1, il existe une métrique sur M telle que la multiplicité de la première valeur propre du laplacien agissant sur les fonctions de M soit égale à N , et a généralisé ce résultat en montrant qu'on peut en fait prescrire toute partie finie du spectre du laplacien, la multiplicité des valeurs propres pouvant être choisie arbitrairement (voir [CdV87]).

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Publié le : mardi 19 juin 2012
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nous(nousortdironstourici,qu'unei?retellseulti-applicationforteestquem?triquementpropreessentiell'indiquelem).tielnouspropreutiliseronspunestanotionpuremenpluslaforte,:queformenousEnnommeronsmontopenolocourbgiquementL'applicationessentielv?rielee,mquihangeanestvqueunelatoprestrictionetdebleay?3.1onl?g?remenquetoun'estrevienpasqu'onhomotopiquemenplantlestrivialeondansenteletoutquadratiqueourquepesp.siestquetopestp[CdV88],danstutilis?edeenle.l'axeOndpparam?treeutm?triquevRemarque?rierproprequetielle,siletiellelesestutilis?topsonologiquemeniltvisageableessenfortetielleLaenparessend'uneapplicationnelle(attenestfaisanaussilamdemi-tour,?tri?qinitiale,ufaitemdansenformesttessenproprestigureelle,enetquequeoiesiunedeuxplanapplicationslasontrt2,topdeologiquemendetparessenfortetiellesnenestd'unetd?nitionenettLae.larespestectiv(onemenpassaget,valorsle).leuro?proappara?tduitvaleurlla'estenaussil'origineenoustablet)surfaiblementD?nition(resp.Lafortementvestultiplepropretion.quePropilit?ositionseulemen4.2.TLtsavvaleurcetteprpr?c?denoprdeetopdoeupasblemondestabilit?lacesprRemarqueoplit?ositionultiplicit?3.1propesteutfaiblementmastable.siD?monstration?form:leDanstionlaensectiontpr?c?denrnerte,droiteLed'uncompactonaleurtestlalequadratiquedomainec'est-?-direva,unel'espacecomplettellelequ'unedesestquadratiques).l'espacefaisanengendr?tournerpardroitestextecommecelaet3,deasuitefaitrepr?sentr?t?estparvlaiguresur3.courbPduourquinormalisertourelformeeansversalit?probl?me,deonultiplicit?sec'est-?-direral'indicem?nelaparehfaible)o(rmoth?tierapp??desoth?seformesnonqua-ul.dratiquesl'hypsurdonclaologiquemendansessendeletraceunx?e,oinc'est-?-diredequ'ond'imagepoproseetdiramonplicit?n90]faiblemen[AstabledansretrouvCommeau).l'existenceenla.aleurCetdoubespaceDansestcasdeladimensionultiplicit?2,suronprpaeutonl'assimilerfait?ispara?treuncplantdonduetLunenseulerturbanplaoin4.1.tlarepr?senari?t?te.une4.3.lestabilit?9d'unetellealeurquemessentielestestno-esp.di?ren(ralorsenla.bLefaibresteestdutpologique.lanouspargumeneutque?treaponsadansram?tr?sectionenlacoteordonn?estpnatureolairetpologique,arnlasemdidoncen?rencedeentrertrelalesestdeuxparvmoaens.l4.4.eursstabipropresdeetmladonn?edirectionladeositionlapdroites'exprimerpropreautrecorrespnondan:topardexemplee?tsubmersiondomaineuneformequadratique@D
dimK dimQ(E ) dimQ(E )0 0
K
M n 3 p
n1 p < [ ] p = 1 n = 3 C > > 0 V > 02
g M
(M;g) = = (M;g)p;1 p;2
n 1 (M;g)>C (M;g)>C 1q q =pp;3 q;1 2
Vol(M;g)<V
M g
Vol(M;g)<V=10 (M;g)> 2C qq;1
3I =] ; [
2 2
V=10
I 2C
"
4V=10
(M;g) Ip;1
(M;g) = p;1
toutvdeari?t?,grandesledenomattacbre?dedepEnad?ran-queram?tresledisploniermetblesvresteragranduneg?n?raliserfonctionaanedoubleduinnomsonbreledesortesph?res,ositionsm?meplicit?.enl'ind?pla?analeurtple.pbreoinattactultiplicit?sd'attacpheappliquesursectionlaallevuneari?t?sph?resetpenpropresutilisanonst(latousenlesnousdegr?solumedeLalibnousert?une??lafaiblemenjonction.deseranses.auOnstabilit?pd?buteuticit?d?duirehoisirdesmr?sultatsqueobtenunussijusqu'ici?rieures.l'?nonc?dessuivoiranpt,.quiteseradelaenbasel'indesemlaaleurd?monstration,dutth?or?mve?1.2et:vLemmen4.6.pasSoittdouble.vuneositionvari?t?ermet)dehoisissandimensionypropreansesaleurlevsoit,hniqueeLesunetentierttelaquealeurunmtrappnultiplicit?astabledonnallethomoth?tieoinramepette(ou?laundoitdomainehabituellesduectrale,siprescriret?rieurspl'inm?ou)cetsurtoujoursunedonc?triqueatelleynomilplusethealable,onveet,resteettrsupoismr??seels.ouvIlpasexisteourunedoncm?triqueOnutilis?ensuisurlologiqueconstructiontellale3queconsitlatervvaleurbleprneoprpropreevtopconstruiretenl'argumenhantrivial,desnonderesteolumeordf?rieurbourduutilis?edessustelleauleursdroitealeursenquibr?eletquedanssortesoiendeplusm?triquesqueestadepropmultiplicit?2.22petetfaiblementcstablet;raondesdesladeparticulier,quenvototalsiinf?rieur-1que4.5.tecUne.sph?respropet3.1conclusions4.2lemmedisentqu'i?ri?es.y4.7.alorsm?mevppropreuneultialeurlasimpleortimm?diatemenpardemprop22.2,tstabilit?dansttervtt?ri?eUnecep5.dedunectcevs'appuypropretquadratiquemen?lemoins4.6cro?treenRemarquettecconditionles,duetsonn?cessairevnRemarqueELex?e).?nonc?pourourv(ouproprequ'uned?coulemtullatiplicit?ositionplaour?tansoittrivialemenstablevestdansqcas.l'espacePrescriptiondanssptraceretEnuan6surelemmedeet;utilisanlesquadratiqueshniquesformesdedessp?onteutrestreinlesedudimensionectrea.ecD?monstrationultipl:1On2commence10par

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