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Continuit´e
D´edou
Octobre
2009
Continuite´enunpoint
D´enition Soit f une fonction sur R et a unre´el.Onditque f est continue en a si,pourtoutintervallenonvidecentre´en f ( a ), J :=] f ( a ) , f ( a ) + [, on peut choisir un intervalle non vide centre´en a , I :=] a η, a + η [donttousles´ele´mentssontenvoye´s dans J par f .
CasedessineetilfautavoirluContrˆolerunefonctionpour comprendrecettede´nition.
Variantemoinspoe´tique
Soit f une fonction sur R et a unr´eel.Onditque f est continue en a ssi : pourtoutre´elstrictementpositif , il en existe un autre η tel que, pour tout x entre a η et a + η , f ( x ) soit entre f ( a ) et f ( a ) + .
Variantepaspoe´tiquedutout
Soit f une fonction sur R et a unr´eel.Onditque f est continue en a ssi : R + , η R + , x R ,
a η < x < a + η
f ( a )  < f ( x ) < f ( a ) + .
Trois quantificateurs, un record !
R + , η R + , x R , a η < x < a + η f ( a )  < f ( x ) < f ( a ) + .
Cette phrase comporte trois quantificateurs, c’est notre record.
L’ordre des quantificateurs I
La condition (C) obtenue en inversant l’ordre des deux premiers quantificateurs est η R + , R + , x R , a η < x < a + η f ( a )  < f ( x ) < f ( a ) + . Elle est fausse par exemple pour toutes les fonctions strictement croissantes.Lide´eestque,silafonctionestcontinue,commeon l’a vu pour la fonction x 7→ 5 x + sin π x , pour tout , on trouve un η qui marche, mais plus est petit et plus on doit prendre η petit. Et pour montrer cette condition (C), il faudrait trouver un η qui marche pour toutes les valeurs de .
L’ordre des quantificateurs II
Voici un exemple plus simple montrant que l’ordre des quanticateursnedoitpaseˆtren´eglige´.
Toute fonction f sur R ve´rie
x R , M R , f ( x ) M
(prendre M := f ( x )).
Lafonctionexponentielleneve´riepas
M R , x R , f ( x ) M
(ici il faudrait trouver un M avantdeconnaıˆtre x ”).
Variante avec intervalles
Sans intervalles :
Soit f une fonction sur R et a unr´eel.Onditque f est continue en a ssi : R + , η R + , x R ,
a η < x < a + η
Avec intervalles :
f ( a )  < f ( x ) < f ( a ) + .
Soit f une fonction sur R et a unre´el.Onditque f est continue en a ssi : R + , η R + , x R ,
x ] a η, a + η [
f ( x ) ] f ( a ) , f ( a ) + [.
Variante avec valeurs absolues
Sans valeurs absolues :
Soit f une fonction sur R et a unr´eel.Onditque f est continue en a ssi : R + , η R + , x R ,
a η < x < a + η f ( a )  < f ( x ) < f ( a ) + .
Avec valeurs absolues :
Soit f une fonction sur R et a unre´el.Onditque f est continue en a ssi : R + , η R + , x R ,
| x a | < η
| f ( x ) f ( a ) | <  .
In´egalite´sstrictesoularges?
Chacun doit prendre le temps de comprendre ce qui se passe si on remplace,danslade´nitiondecontinuite´,certainesin´egalit´es strictes par les larges.
Etilfautretenirquelastrictite´pour et pour η n’est pas negociable. ´
Varianteavecine´galit´eslarges
Avecine´galite´sstrictes:
Soit f une fonction sur R et a unr´eel.Onditque f en a ssi : R + , η R + , x R , a η < x < a + η f ( a )  < f ( x ) < f ( a ) + .
Avecin´egalite´slarges:
Soit f une fonction sur R et a unre´el.Onditque f en a ssi : R + , η R + , x R , a η x a + η f ( a ) f ( x ) f ( a ) + .
est continue
est continue