Coordonnees dans une base

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Coordonnees dans une base Dedou Novembre 2011

  • unique vecteur

  • equation caracteristique des coordonnees

  • probleme de decomposition lineaire

  • base donnee

  • coordonnees donnees

  • coordonnees


Publié le : mardi 1 novembre 2011
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Coordonn´eesdansunebase
D´edou
Novembre 2011
L´equationcaract´eristiquedescoordonne´es:exemple
2 Lescoordonne´esdunvecteur~vde notre espace vectoriel favoriR ~ ~ dans une base (i,j) sont deux nombresxetytneire´viuq le´quatione´nnseetirti´seadcqaurcocesdoor:
~ ~ ~v=x i+y j.
Larecherchedescoordonne´esestdoncunprobl`emede de´compositionlin´eaire. Exemple:Le´quationcaracte´ristiquedescoordonn´eesxetydu       1 3 5 vecteurv~:= dans la base (,) est 2 4 6       1 3 5 =x+y. 2 4 6
Le´quationcaract´eristiquedescoordonne´es:exercice
Exo 1 Ecrirel´equationcaract´eristiquedescoordonn´eesx,yetzdu         4 1 2 2         vecteur 0 dans la base ( 2,4,1 ). 1 0 3 0
Vecteurdecoordonn´eesdonn´eesdansunebasedonne´e
Etantdonn´esxety, il existe un unique vecteurv~dont les coordonne´esdansnotrebasesoientcesdeuxnombres,etilest donn´eparlaformule:
~ ~ ~v=x i+y j.
Exemple     4 6 Levecteurdecoordonn´ees2et3danslabase(,) est 5 7   26 ( ) 31
Exo 2 Quelestlevecteurdecoordonn´ees5et2 dans la base     2 2 (,) ? 0 1
n
Coordonne´esdunvecteurdansunebase
Inversement,e´tantdonn´eunvecteurv~quelconque de notre plan, il existe un unique couple (x,yoned)e´vserbmlntariioatqu´en (caracte´ristiquedescoordonn´ees):
~ ~ ~v=x i+y j. Ces deux nombresxetyedseen´onrdoosclentsov~dans notre base . Exo 3       1 1 3 Quellessontlescoordonn´eesdedanslabase(,) ? 6 2 4
Ligneoucolonnedescoordonne´es
Plutˆotquededire
xetysnoocroltsees´enndode~vdans cette base”,
onpre´fe`reinsistersurlefaitquelordredanslequelondonnexet yest important et dire
”(x,yoorddescignetlal)seedsee´nnov~dans cette base”,
ou encore   x estlacolonnedescoordonne´esde~vdans cette base”. y
Equations vectorielles
Larecherchedecoordonn´eesconsistedonca`re´soudrele´quation
~ ~ ~v=x i+y j ~ ~ o`uv~ ,i,jsont connus etxetysont les inconnues. Ilsagitdunee´quationvectorielle:ondemandequedeuxvecteurs soiente´gaux.
Commentaborde-t-onune´equationvectorielle?
Le´galit´evectorielle
Le´galit´edespoints(oudesvecteurs)duplannenousfaitpas peur.Onsaitlaramener`adese´galit´esentrenombres: 2 Deux points deRsont´egauxssi ilsontmˆemeabscisseetmˆemeordonne´e.
Autrementdit,aveclanotation´evidente,pourvetwquelconques 2 dansR, xv=xw v=w. yv=yw
Recherchedecoordonn´ees
Pourtrouverlescoordonne´esdunvecteurdansunebase, one´critle´quation(vectorielle)caract´eristique onconvertitcettee´quationensyst`emenume´rique onre´soutcesyst`eme,quiaunesolutionunique lalignesolutionestlalignedecoordonne´escherche´e.
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