corrigé de l'exercice de la feuille

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Correction exo 4, TD 1 November 29, 2007 On se place dans le contexte general d'un jeu a somme nulle a 2 joueurs. Soit X et Y les ensembles de strategies des joueurs X et Y, u(x, y) la fonction d'utilite du joueur X. • Prouver que sup x?X inf y?Y u(x, y) ≤ inf y?Y sup x?X u(x, y) (1) Preuve : Par la propriete de l'inf et du sup on a : ?x ? X, ?y ? Y, inf y˜?Y u(x, y˜) ≤ u(x, y) ?x ? X, ?y ? Y, u(x, y) ≤ sup x˜?X u(x˜, y) Donc en mettant ensemble les 2 inegalites, on a : ?x ? X, ?y ? Y, inf y˜?Y u(x, y˜) ≤ u(x, y) ≤ sup x˜?X u(x˜, y) En oubliant le terme u(x, y), puis en prenant le sup sur x puis l'inf sur y on obtient : ?x ? X, ?y ? Y, inf y˜?Y u(x, y˜) ≤ sup x˜?X u(x˜, y) ?y ? Y, sup x?X inf y˜?Y u(x, y˜) ≤ sup x˜?X u(x˜, y) sup x?X inf y˜?Y u(x, y˜) ≤ inf y?Y sup

  • inf y?y

  • point selle

  • sup x?x

  • propriete de l'inf et du sup

  • egalite de la question precedente

  • maniere symetrique

  • derivee seconde

  • strategie prudente


Publié le : mardi 19 juin 2012
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Source : math.unice.fr
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Correction exo 4, TD 1
November29,2007
On se place dans le contexte general d’un jeu a somme nulle a 2 joueurs. SoitXetYles ensembles de strategies des joueurs X et Y,u(x, y) la fonction d’utilite du joueur X. Prouver que sup infu(x, y)inf supu(x, y) (1) yY yY xX xX Preuve : Par la propriete de l’inf et du sup on a : xX,yY,infu(x, y˜)u(x, y) y˜Y xX,yY, u(x, y)supu(x˜, y) ˜xX Donc en mettant ensemble les 2 inegalites, on a : xX,yY,infu(x, y˜)u(x, y)supu(x˜, y) y˜Y x˜X En oubliant le termeu(x, y), puis en prenant le sup surxpuis l’inf sury on obtient : xX,yY,infu(x, y˜)supu(x˜, y) y˜Y ˜xX yY,sup infu(x, y˜)supu(x˜, y) y˜Y xX x˜X sup infu(x, y˜)inf supu(x˜, y) y˜Y yY xX˜xX Supposons que l’on dispose d’un couple de strategies (x˜, y˜) tel que ux, yinf sup˜) =u(x, y) yY xX Estcex˜ qui est une strategie prudente pour X, ou bieny˜ qui est une strategie prudente pour Y ? Et donc pourquoi aton xX, u(x, y˜)ux, y˜) Reponse: Le joueur a cherche a minimiser sur les strategies de Y l’utilite du pire des cas quand X choisit.Il s’agit donc de Y qui cherche a minimiser l’utilite
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de X. Par consequent c’esty˜ qui est une strategie prudente pour Y. L’utilite de la strategie prudentey˜ de Y est doncu(x˜, y˜), c’est ce que signifie l’egalite u(x˜, yinf sup˜) =u(x, y) yY xX Donc pour la strategiey˜ le pire des cas est quand X jouex˜, cad que l’utilite n’est jamais plus grande que quand X jouexconsequent˜. Par xX, u(x, y˜)ux, y˜) Supposons que l’egalite sup infu(x, y) =inf supu(x, y) yY yY xX xX soit realisee en un couple de strategies (x˜, y˜). Pourquoi xX,yY, u(x, y˜)ux, y˜)ux, y)
Reponse: Le couple (˜x, y˜) verifie l’egalite de la question precedente. u(x˜, yinf sup˜) =u(x, y) yY xX On a donc etabli quey˜ est une strategie prudente de Y. De maniere symetrique, on a que ˜xest une strategie prudente de X en raison de l’egalite u(x˜, y˜) =sup infu(x, y) yY xX Dans la question precedente on a etabli que, du fait quey˜ est une strategie prudente, on a xX, u(x, y˜)u(x˜, y˜) De maniere symmetrique, comme ˜xest une strategie prudente de X, et que dans le pire des cas pour X (cad que l’utilite est minimale) Y jouey˜, on obtient l’inegalite yY, u(x˜, y˜)u(x˜, y) 2 2 On suppose maintenant queu(x, y) =yxxy+y2x, queX= [3,3] etY= [4,2]. Trouvertrouver un couple de strategies (˜x, y˜) qui realise sup infu(x, y) =u(x˜, y˜) =inf supu(x, y) yY yY xX xX Reponse: On va trouver les points (˜x, y˜) tel que sup infu(x, y) =u(x˜, y˜) yY xX On commence par trouver la fonctionI(x) = infyYu(x, y). Pource faire on utilise le fait que les extremums sont atteints quand la derivee s’annule. yu(x, y) = 2yx+ 1
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2 On remarque au passage que la derivee seconde∂ u(x, y) = 2 est positive, y il s’agit donc d’un minimum (ce qui convient vu qu’on calcul un inf). En utilisant la derivee premiere on voit que le minimum est atteint pour x1x1 yle point (= quandx,) est dans le domaine de definition de 2 2 l’utilite. Sinonil sera atteint sur les bords.On regarde donc quand ce point sort du bord.On resoud donc les 2 equations : x1x1 4 =2 = 2 2 D’oux=7 oux= 3.Donc vu quexvarie entre3 et 3 on ne sort jamais x1 du domaine.On en deduit que sur tout [3,3] on aI(x) =u(x,). On 2 utilise a nouveau le critere de derivation pour savoir ou l’extremum est atteint. x1x15x3 xI(x) =xu(x,) =2x− −2 = 2 22 5 La derivee seconde estqui est negatif, donc l’extremum est une max 2 imum, ce qui va bien vu que l’on cherche un sup.Le maximum est donc 3 atteint en ˜x= quiest bien dans le domaine [3,3], d’autre part on a 5 ˜x14 y˜ == . 2 5 On va maintenant trouver les points (˜x, y˜) tel que inf supu(x, y) =ux, y˜) yY xX On commence par trouver la fonctionS(y) = supu(x, yce). Pour xX faire on utilise le fait que les extremums sont atteints quand la derivee s’annule. xu(x, y) =2xy2 2 On remarque au passage que la derivee seconde∂ u(x, y) =2 est neg x ative, il s’agit donc d’un maximum (ce qui convient vu qu’on calcul un sup). Enutilisant la derivee premiere on voit que le minimum est atteint y2y2 pourx= quandle point (, y) est dans le domaine de definition 2 2 de l’utilite.Sinon il sera atteint sur les bords. On regarde donc quand ce point sort du bord.On resoud donc les 2 equations : y2y2 3 =3 = 2 2 D’ouy= 4 ouy=8. Doncvu queyvarie entre4 et 2 on ne sort jamais y2 du domaine.On en deduit que sur tout [4,2] on aS(y) =u(, y). 2 On utilise a nouveau le critere de derivation pour savoir ou l’extremum est atteint. y2y2 5y+ 4 yS(y) =yu(, y) = 2y+ 1 = 2 22 5 La derivee seconde estqui est positif, donc l’extremum est une minimum, 2 ce qui va bien vu que l’on cherche un inf.Le minimum est donc atteint 4 enyqui est bien dans le domaine [˜ =3,3], d’autre part on a ˜x= 5 y˜23 = . 2 5 Finalement on voit que le point realisant la strategie prudente de X est le meme que celui realisant la strategie prudente de Y. Nous avons donc trouve un point selle.
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3 Dessiner le graphe de la fonctionu(x, y) dansRau dessus deX×Y, dessinez un selle de cheval. Idee: Les 2 figures se ressemblent... Le point selle est exactement la ou on mettrait quelque chose sur la selle si on voulait qu’il tienne en equilibre.
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