Courbes algebriques sur les corps finis version preliminaire

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Courbes algebriques sur les corps finis version preliminaire Christian Pauly avril 2006

  • extensions galoisiennes

  • varietes algebriques

  • aspects cohomologiques des conjectures de weil

  • theoreme de riemann-roch

  • courbes projectives

  • corps fini


Publié le : samedi 1 avril 2006
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Courbes
alg´ebriquessurlescorps versionpr´eliminaire
Christian Pauly
avril
2006
finis
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Tabledesmatie`res
1 Introduction 2Th´eoriedeGalois 2.1 Extensions de corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Extensions galoisiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Corps finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Extensions transcendantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5Applicationdelath´eoriedeGalois......................... 2.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Vari´et´esalge´briques 3.1Espaceaneetvarie´t´esanes........................... 3.2 Actions galoisiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3Espaceprojectifetvarie´te´sprojectives....................... 3.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Courbes projectives 4.1 Anneau de valuation discrete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ` 4.2 Diviseurs et groupe de Picard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3Formesdi´erentielles................................. 4.4Leth´eor`emedeRiemannRoch............................ -4.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Fonction zˆta e 5.1 Courbes projectives sur un corps fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2De´nitiondelafonctionzeˆta............................. 5.3AnalogieaveclafonctionzˆetadeRiemann..................... 5.4Rationalit´edelafonctionzeˆta............................ 5.5FonctionzeˆtaetpointsFqm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .-rationnels . 5.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6Corrig´esdesexercices
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5 7 7 9 11 12 13 16 19 19 21 21 21 25 25 25 26 26 26 29 29 31 32 33 33 33 35
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TABLE
DES
` MATIERES
Chapitre 1
Introduction
Lebutdececoursestdepre´senterlapreuvedelhypothe`sedeRiemannpourlafonction zeˆtaassoci´eea`unecourbeprojectivelissede´niesuruncorpsni.Cer´esultatestuncas particulierdesconjecturesdAndr´eWeil,e´nonce´en1949danssonarticle[We],etde´montre´ dansuncontextebeaucoupplusge´n´eral,parPierreDeligneen1973.
Pour les aspects cohomologiques des conjectures de Weil on pourra lire l’appendice C de [H].PouruneintroductionaccessibleauniveauM2a`lag´eom´etriediophantienneonliraletexte introductif de B. Mazur [Ma].
E-mail : pauly@math.univ-montp2.fr
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CHAPITRE
1.
INTRODUCTION
Chapitre 2
Th´eoriedeGalois
Lebutdecechapitreestderassemblertouslesr´esultatsdeth´eoriedeGalois,quiseront utilise´sdanslasuitedececours.Onnedonneraquequelquespreuvesfaciles.Pourlesautreson pourraconsulterleslivresdere´f´erence,commeparexemple[C],[St],[Mal]ou[La].Descours enlignessont´egalementdisponibles,parexemple[L]et[Mi]. Touslescorpsapparaissantdanscecourssontsuppose´scommutatifs.
2.1 Extensions de corps Soitkun corps et soiti:Zkle homomorphisme d’anneau qui envoie l’entiernsur n1. Siilaekdie´eulvrqeraptsenseobonf,tiecnjsiireimlpred´eatuniespZpour un nombre premierp D´enition2.1.1On dit quekosrtpiqsudeecaraecstt´uenrci0siiest injectif. On dit quek estuncorpsdecaracte´ristiquepsikeri=pZ. SoitKune extension dekredia--`ste,ckK. De´nition2.1.2U´nlee´emtnxKestalg´ebriquesrukynolmeˆonnnoulselitsixpnue Pk[X]tel queP(x) = 0. Dans le cas contraire on dit quexest transcendant. Exemple. Sik=Q, le nombreue,maise´glqirb2atseeetπsont transcendants. De´nition2.1.3L’extensionKkglatseut´esitoique´ebrnet´lmexKrbe´euqirusatglsek. De´nition2.1.4L’extensionKkest finie si la dimension deKcommek-espace vectoriel est finie. Dans ce cas on note[K:k] = dimkK. Exemples. 1. SoitPk[X(lae´dil)...xerivos(orAle.bltiuc´rdeemrinyoˆpnlo]uP) est premier, donc maximal. Ainsi le quotientK:=k[X](Procna,sp)utseredeuptue´elppledsreocprP. Cestuneextensionalge´briqueniedek. On a la relation [K:k] = degP.
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´ CHAPITRE 2. THEORIE DE GALOIS
Si l’on notexseasclla´nimrete´dniledeeXl(mludoiloae´dP) on aK=k[x]. 2.k=Fp(Tp) etK=Fp(T)o`uTestun´el´emrpcoleurnissnarttnestnadnecFp. AlorsK estuneextensionalg´ebriquededegre´psurk. 3. SoientKkune extension et soientx1 x2 . . .  xnK. On notek[x1 x2 . . .  xn] lak-alge`breengendre´eparlesxi ts. Si tous les ´l´xiostnbeirla´gsurqueskerbe`glslaalor e emen L=k[x1 x2 . . .  xn] est un corps et on a [L:k]Qi[k[xi] :k] — exercice. D´enition2.1.5SoitKkune extension etxKel´eun´uq.ebeirla´gemtno-epllpeapOn lynome minimal dexsurkerateuruleg´en´lei´daeinatrideomnˆdaesesldlyposnk[X]annula-ˆ teurs dex. On noteraMink(x)eplmeˆoynolamdliminexsurk. D´enition2.1.6ueiqdeUnˆlcerutoglaerbe´keunstxteeeneisnola´gbeiruqKtel que tout polynoˆmePk[X]se scinde surKa`-tsec,e-dir n P(X) =Y(Xai)avecaiK. i=1 Proposition 2.1.1Tout corpskemdaenutuq.ealg´ebriclˆoture Proposition 2.1.2lcoˆutereDxuiquesdesalg´ebrksontk-isomorphes. Soitkun corps etPk[Xelbitcude´rritnenetuanxEn).oˆemlonyu]pniremessan´ec(pas cloturealg´ebriquekdekopnue´tceirerP(X) =Qni=1(Xai) avecn= degP. ˆ De´nition2.1.7ontisipodeappeOnrospllcecemoed´dPou corps des racines dePle corps KP:=k[a1 a2 . . .  an]. Onve´rieraqueKPest une extension finie deket queKPladeixhoucsdpadnepe´den cloˆturealg´ebriquek. Exemples. 1. Soitk=QetP=X52. AlorsKP=Q[52 e52]. 2. Soitk=QetP=XXp11= 1 +X+X2+. . .+Xp1pourppremier. AlorsKP=Q[e2] p D´enition2.1.8SoitKkeetxnuiruq´gbenolaneismorpautoe.Unenisprocedemsihσ: KKqui agit trivialement surkc,ets`-a-direσ(x) =xpour toutxkpats´lepneue automorphisme de l’extensionKk. L’ensemble des automorphismes de l’extensionKkforme ungroupepourlacomposition,note´Aut(Kk). Remarques. 1. SoitPk[X] et soitKPn.ioitosmpco´eeddsprocnosrpsseocarllnee´nE´gKPetL:= K[X](P) ne coincident pas ! Si l’on noteaaclrmin´eeidne´etalssdeleXdansLle polynˆomePse factoriseP(X) = (Xa)Q(X) dansL[X´nregne´laaise],mQn’a pas toutes ses racines dansL
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