DEA de mathematiques “Algebre categorielle” decembre

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DEA de mathematiques 02-03, “Algebre categorielle” 19 decembre 2002 Examen Duree : 3 heures Les deux problemes sont independants. On tiendra le plus grand compte de la redaction. Probleme I 1. Soient C une categorie, A?, A, B et C des objets de C, f, g une paire de morphismes de A? dans A, enfin q1 : A? B et q2 : B ? C des morphismes. 1.a Montrer que si q2 est un epimorphisme et si la composee q2q1 est un coegalisateur de la paire (f, g) alors q2 est un coegalisateur de la paire (q1f, q1g). 1.b. Montrer que si q2q1 est un epimorphisme alors q2 est un epimorphisme. 1.c. Deduire de (a) et de (b) que si q2q1 est un epimorphisme regulier alors q2 est un epimorphisme regulier. 2. On suppose que C possede un generateur P , c'est-a-dire un objet P tel que pour toute paire de morphismes distincts f, g : A? ?? A, il existe un morphisme ? : P ? A? tel que f? 6= g?. On suppose de plus que pour tout ensemble E, le coproduit unionsqEP de la famille d'objets de C indexee par E constante egale a P existe dans C. 2.a.

  • c0 ?

  • complexe de ab

  • equivalence d'homotopie

  • categorie

  • morphisme

  • relation d'homotopie entre mor- phismes

  • c1 ???


Publié le : dimanche 1 décembre 2002
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DEAdemath´ematiques02-03,Alge`brecat´egorielle19de´cembre2002 Examen Dur´ee:3heures Lesdeuxprobl`emessontind´ependants.Ontiendraleplusgrandcomptedelar´edaction. Proble`meI
0 1.SoientC,egt´ieorucaneA,A,BetCdes objets deC,f, gune paire de morphismes 0 deAdansA, enfinq1:ABetq2:BCdes morphismes. 1.aMontrer que siq2s´poomaceeipomprihmseestliestun´eq2q1ge´ocnutuetasilardees la paire (f, g) alorsq2(reledriapasilauetase´ogeutcnq1f, q1g). 1.b.Montrer que siq2q1imorphisestun´epsrolaemq2e.smhirpmopie´nutse 1.c.iquese(b)e)dteda(iuer´Ddeq2q1peismtoun´esmerrphiilree´ugslaroq2est un ´epimorphismere´gulier.
2.On suppose queCposs`eednu´gnee´aretruPc,t-es-d`aeuirjbontePtel que pour toute 0 0 paire de morphismes distinctsf, g:AA, il existe un morphismeϕ:PAtel que f ϕ6=. Onsuppose de plus que pour tout ensembleE, le coproduittEPde la famille d’objets deCparee´xedniEala`econse´egtantPexiste dansC. 2.a.Soitf:ABun morphisme.Montrer que si HomC(P, f) : HomC(P, A)HomC(P, B) est injective alorsfest un monomorphisme. 2.b.Montrer que pour tout objetAdeCle morphisme canoniquepA:tHomC(P,A)PA estun´epimorphisme. (On rappelle quepAeihmsdenotselomprtiic`aonartltresetnaocalsopmPdnieparex´e ϕHomC(P, A) est le morphismeϕ.) 2.c.uetqdiOnruetare´ne´gelPts´rgelueisrpiuoretoutobjetAdeCle morphismepA estun´epimorphismer´egulier. Supposons quePtiosteestrlier´egufun morphismeABque si Hom. MontrerC(P, f) : HomC(P, A)HomC(P, B) est surjective alorsfpemirohpseut´nr.ieulegr´meis (Onpourrae´crirepB)..1)ces(ritileeutos´ecompeunecomm 2.d..a(2td)e2.e(quc)´DiudeederlefenotcueHrmoC(P,) :C → Eseletnsd´etec isomorphismes.
Probl`emeII
1.SoientC,uorie´tgeenacIessmhirpeuxloaededergmo´reiceatf´oseome1dt0stejbte d0,d1: 10 ets: 0auisxselsulp(1esidentimorphismed)1osmu´tde0ete I relationsd0s= id0=d1s. Onappelle 1-complexe deCeirogjetdunobat´eelacC desI-diagrammes deCnote. OnC1C0un tel objet et on note encored0, d1, sles morphismes deC1dansC0et deC0dansC1qui le constituent.
1.a.A chaque objetCdeCon associe le 1-complexe constantCC´edeformCet des morphismesidentit´eCCxeemolpn1-ceduhismmorpee´nnudleuqnodaon.Mertr → → C1C0dans le 1-complexe constantCCorphismedeavtua`eclldeumniuqe´C0 → → dansCxmeuphormeissiuqage´esildseld0,d1:C1C0. 1.b.Lorsque le diagrammeC1C0sous-jacent au diagrammeC1C0admet un co´egalisateurC0CdansC, on dit que le diagrammeC1C0Curtesaliga´ecoets ou que le morphismeC0Cfait deCxelpeo´eglecc-modr1utauelasiC1C0. → →SoientC1C0etD1D0deux 1-complexes deCetf, gdeux morphismes deC1C0 → →dansD1D0. Ondit quefsee`atopohtmogs’il existe un morphismeh:C0D1tel qu’on aitf=d0hetg=d1h. → → Montrer que siC1C0etD1D0asetrudsoce´agilttentdessanadmeCet sifest → → homotopea`galorsfetg.lage´ocssruetasihismmorpreleeentsineniudeˆemltme → → 1.c.On dit qu’un morphismefdeC1C0dansD1D0omhopotieest´enuiuqeelavdecn → → → → s’il existe un morphismegdeD1D0dansC1C0otopshometdetie´edtnleieidsde → → → → C1C0dansgfetitnede´ledtediD1D0dansf g. → → → → Soitfun morphisme deC1C0dans le 1-complexe constantCCqui est une → → ´equivalencedhomotopie.Montrerquelemorphismef:C0Cfait deClce´ogelaisateur dansCdu 1-complexeC1C0. Montrerde plus que pour tout foncteurFdeCdans unecat´egorieD, l’image parFdeffait deF(Clage´ocedruetasisan)lDdu 1-complexe imageF(C1)F(C0). Lorsquefnclehedeqe´vauidno,qaritomoeipoerammdiagueleetsnuC1C0C associe´a`fecmmraagdiunsteicsruetasilage´oe´dn. 2.On noteEcalaegt´ieorsedesnmelbsetesnAedesgroupesab´el.sneibecll 0 2.a.SoitA1A0un 1-complexe deAb. OnnoteAudelnoyapos´acomeeelsd0. 1 0 Montrer queA1proma`ehseositirectelasommedAA0. 1 2.b.SoitJal1ismeorphunm1etdte0stejboxuedede´ermfoieoregt´ca0 (plus lesmorphismesidentite´de1etde0).Onconside`relacate´goriedesJ-diagrammes de A,buqoanppleelcat´egoriedesmorsihpdsemeAuneestgori.bonU(etbjcedeectt´eat morphismeA1A0dansAb.) Montrerquelefoncteurdelacate´goriedes1-complexesdeA-orieorsmdealac´tgebadsn 0 phismes deAcs-a1inuuiac`oseexelqp,mboA1A0le morphismeA1A0restriction ded1:A1A0(r`aKesd0vauincleeced´eate,)nutsqe´eiciteraunogirseodtnnoxelp inverse. Aquoicorrespondparcettee´quivalencedecat´egorieslarelationdhomotopieentremor-phismes de 1-complexes deAeilleaxseedtrueedd-o1coec´pamglanotionb?Ab ?la notiondediagrammecoe´galisateurscinde´deAMontrer que la relation d’homotopieb ? entre morphismes de 1-complexes deAunerelationd´eqisutabveelcn.e 2.c.SoientA1A0un 1-complexe deAb etA0Aco´esonsategalinortruM.ereuq le diagramme sous-jacent d’ensemblesA1A0Aalegatismmrao´ecnutsgaiduere scinde´dansEns.
3.(horsbar`eme)SoitGenntoseO.melbessndeieoregt´calaursedanomenuEns(G) lacat´egoriedesGeda`elgesbrEns. (RappelonsqueGest un foncteurEns→ Ens muni
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