Décomposition linéaire

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Decomposition lineaire Dedou Septembre 2011

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  • equation en systeme numerique

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Publié le : jeudi 1 septembre 2011
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D´ecompositionline´aire
D´edou
Septembre 2010
Proble`mesdede´compositionline´aire
SoientM,A,B,Cquatre vecteurs dans notre espace vectoriel favori. On veut parfois/souvent savoir Est-ce queMederiae´nonlinaisombiestcA,B,C? Etsilar´eponseestpositive, on veut aussi savoir Quelssontlescoecientsdecettecombinaisonline´aire. Cestunproble`meded´ecompositionline´aire (qualitatif ou quantitatif).
Lame´thodeded´ecompositionline´aire
Pourcesdeuxprobl`emes,lame´thodeestlasuivante: on choisit le nom des inconnues, par exemplex,yetz; on´ecritle´quationvectorielleM=xA+yB+zC; onconvertitcette´equationensyst`emenume´rique; pourleproble`mequantitatif,ondoittrouverunesolutionde cesyst`eme; pourleproble`mequalitatif,ondoitseulementdiresilyaune solution ou non.
Lam´ethodeded´ecompositionline´aire:exemple
Proble`me Est-ce que (1,2,e)tsocbmniiaoslni3n´eairede(4,5,6) et (7,8,9) ?
De´butdesolution On cherche doncxetyt(1ian´vre,2,3) =x(4,5,6) +y(7,8,9), autrementditv´eriantlesyst`emedetroise´quationslini´eaires`a deux inconnues : 1 =4x+ 7y 2 =5x+ 8y 3 = 6x+ 9y.
Lignes et colonnes
Leschosessontplusclairessione´critlesvecteursencolonnes: L´equationvectorielle     1 47     2 =x5 +y8 3 69 e´quivautausyste`me: 1 =4x+ 7y 2 =5x+ 8y 3 = 6x+ 9y.
D´ecompositionline´aireetsyst`emelin´eaire Onacomprisque,pourtraˆıterunprobl`emeded´ecomposition lin´eaire,on´etudieunsyst`emeline´aire.Camarcheaussidans lautresens.Parexemple,lefaitquelesyste`me 2x+ 3y= 8 5x+ 7y= 8 3x+ 5y= 8 n’a pas de solution signifie exactement que (8,8,8) n’est pas combinaisonline´airede(2,5,3) et (3,7,5). Exo 1 Interpr´etezentermesdecombinaisonline´airelefaitquelesyst`eme 2x+ 3y+ 4z= 1 5x+ 7y2z= 2 a une solution.
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