Definitions Exemples Le gain en utilisant les matrices structurees

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Definitions&Exemples Le gain en utilisant les matrices structurees Relation entre matrices de Toeplitz et syzygies Matrices de Toeplitz par blocs Toeplitz (TBT) Matrices structurees Matrices de Toeplitz par blocs Toeplitz. Houssam KHALIL Bernard Mourrain &Michelle Schatzman Universite Lyon1&INRIA Sophia Antipolis JMS, Limoges, 19/01/06 Houssam KHALIL Matrices structurees

  • t1 t0

  • t?1 tn?1

  • relation entre matrices de toeplitz

  • h0 h1

  • resolution des systemes lineaires

  • matrices de toeplitz par blocs toeplitz


Publié le : mardi 19 juin 2012
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D´enitions&ExepmelLsgeiaenunitsalilentatsmcerirtssutcuee´rleRsnentatiotricremaoTpeseedteysilztMaesgizydeesictrztilpeoTscolbrapT(TB)oTpeilztasKmAHILMLtairecHous
JMS, Limoges, 19/01/06
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Houssam KHALIL Bernard Mourrain &Michelle Schatzman
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D´enitions&Exemples
es´eurct
Legainenutilisantlesmatricesstructure´es Multipplication rapide R´esolutiondessyste`meslin´eaires
1
Relation entre matrices de Toeplitz et syzygies
2
4
3
Matrices de Toeplitz par blocs Toeplitz (TBT) Gen´eralisationducasscalaire ´ TBT et syzygies
itjT:(=2.aMi)j,edeHtricl:H=anke,i)j+ih(irtaM3.jndVadeceeVndmoerxElpmeM1seriatdeceepTotzli
2
Matrices truct ´ s urees Une matriceAde taillen×ntur´eeesstiditestruc: 1peneddeleel´dO(nntieals`)ccoealpaedecn2 coefficients. Cescoecientssontdistribu´eesdunemani`erequinous permet de travailler ”simplement” avec cette matrice.
es´eurctru:yhc1(=CdeciuaCej4i,trMaxj=(i)1rtcisetsHKLALIaMjHoussamxiyj)i,rtcisetsurtcrue´enutilisantlesmaxE&slpmeeLseniagD´nieontizparpliteToecesdtaireiMszygyezstitploeeTsdceriatmertnenoitaleRseT)tilpBT(zcolbeoTs
laRees´etrenontisecirtamrutcurtstsyzitzesMatygieirecmetaeolpdsTeeD´tiniinenutilisantlesno&sxEmelpseeLagT)TBitzpoeplsdeTriceti(zeolpcoTsralbHuossurctrust
Exemples 1Matrice de Toeplitz :T= (tij)i,j. 2Matrice de Hankel :H= (hi+j)i,j. 3Matrice de VandermondeV= (xij1)i,j 4Matrice de Cauchy :C= (xi1yj) i,j
Matricesstructure´es Une matriceAde taillen×nes:sicuut´reedttisert 1epd´ddenleeleO(naleclapaedeic`stneoc)n2 coefficients. 2eruqniuosnosstneibirtsidtusdeeu´`enimaneoecCesc permet de travailler ”simplement” avec cette matrice.
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Toeplitz,T= (tij)i,j tt0tt10......tn.+11 tn.1.......t.1.tt10
tsurtcrue´se
Vandermonde,V= (xij1)i,j 11xx21......xx12nn111.x.n. . .xnn.1
Hankel,H= (hi+j)i,j h0h1. . .hn1h1h2. . .. . . .. . .h2n3. hn1. . .h2n3h2n2
Cauchy,C= (xi1yj)i,j xxn1.11yy11......x1.1yn1 xnyn
amKHALILMatrices
essttricur´eructlisinetuseamnaltsdceriatitploeeTitaleRsemertnenoExs&plemLeesinga´Dinenoit´eOpecavruesaretdgdertnaacem´eplrM,Nent1sMieriattszeygyztilprapzdseceoTeplitz(TBblocsToe)T
Matricesstructure´es Asecpmisselser´eeuctuestrtdittairetm2xesiisliMetN telles que rg(rM,N(A)) =α(resp rg(ΔM,N(A)) =α), avecα petitinde´pendentden. ou
Structuredede´placement
seecessatritur´trucsuas.)oHILMLKmAHMgraA(N,nelnretotden.OeApl´eemacr}nadgdeelelM{N,,sappel,N(A))=αMr(greuqletαtiteep.LANA=MA)N(M,.αΔ2el×natliF,edFT,GNT=GAMA(A)=
tcure´ru
Matrices structurees ´ A2eamrtcisesmilpestseetidurtsurctes´eleiistxiMetN telles que rg(rM,N(A)) =α(resp rg(ΔM,N(A)) =α), avecα etitouind´ependentden. p
se
Structureded´eplacement
Le petitαtel que rg(rM,N(A)) =α, s’appelle le{M,N}rang dede´placementdeA. On le noterargM,N(A).
avec Op´erateursetrangded´eplacement 1rM,N(A) =AMANT=GFT,G,Fde taillen×α. 2ΔM,N(A) =MAAN.
amssouHtssecirtaMLILAHKbrapztilpeoTscolBT(Ttzli)etsyzygiToeplitzseedoTpeseaMrtcielsRioattuuceer´cirtedsetnenamerlisanutiainesLegssrtirecmstatnel´eDelpmexE&snoitin
0.t)=1n+t..T(Z,ZrrZ,Z.rg(=2.r(T))t.n.0.1...0.h1.nh2..Z,TZ=)H(h...0H))=2.HoussamKHAn2r.(gZr,T(Z
Ond´enit:
01
Z= 1 . 0
. . . . . . . . . . . .
. . .
. . . . . . 1
0 .0
0
see´rutuctrssceriatLMLI
On a :
´Deinitno&sxEemplesLegainenutsililtnaamsecirtstesctru´eurReesatritremonenlatiezstlptiTeeoecdssdceriatsMieygyzcolbrapztilpeoTez(TBT)sToeplit
rZ,Z(T) =tnt.01......tn.0+1. rg(rZ,Z(T)) = 2.
01............00Z= .0......1....0
Onde´nit:
On a :
eesut´rrtcussceriatLMLIHAmKassuoH.2=))H(Z,T.rg(rZ..h2n2h.n.1.0..0.)=(Hhr,ZZTtilpeoTedsecirtariatsMieygyztszerue´urtcsetsrtcitremonenlatiesReeLseniagxE&slpmetlanmaesutenisilenitionD´T)cesdeToeplitzparlbcoTseolpti(zBT
tructur´atricessKmAHILMLoHsuas
On a :
Onde´nit:
0 . . .. . .0 Z1..=.. . .00..........1.0
rZ,Z(T) =tnt.10......t0.n+1. rg(rZ,Z(T)) = 2. rZT,Z(H) =hnh.01......h2n.02. rg(rZT,Z(H)) = 2.
seenetulisiseeLagnitricesstantlesmaeRseitaltcure´ruriatsdceenonemtr´DplemExs&ontiniepliteToeyzygzetstaireiMsTeeoecdsarzpitploesTocblBT(ztilp)T
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