DÉFORMATIONS DE RÉSEAUX DANS CERTAINS GROUPES RÉSOLUBLES

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DÉFORMATIONS DE RÉSEAUX DANS CERTAINS GROUPES RÉSOLUBLES CÉDRIC ROUSSEAU Abstract. We aim to study local rigidity and deformations for the following class of groups: the semidirect product ? = Zn oA Z where n ≥ 2 is an integer and A is a hyperbolic matrix in SL(n, Z), considered first as a lattice in the solvable Lie group G = Rn oA R, then as a subgroup of the semisimple Lie group SL(n + 1, R). We will notably show that, although ? is locally rigid neither in G nor in H, it is locally SL(n + 1, R)–rigid in G in the sense that every small enough deformation of ? in G is conjugated to ? by an element of SL(n + 1, R). 1. Introduction Soient ? un groupe de type fini et G un groupe topologique. On désigne par R(?, G) l'ensemble des morphismes de groupes de ? dans G muni de la topologie de la convergence ponctuelle i.e. la topologie induite par celle du produit G? (de sorte que deux morphismes de ? dans G sont proches si, et seulement si, ils le sont sur un ensemble de générateurs de ?). Un morphisme de groupes r : ? ? G est dit localement rigide si tout autre morphisme de groupes r? : ? ? G suffisamment proche de r est conjugué à r, c'est-à-dire s'il existe un voisinage V de r dans R(?, G) tel que : ? r? ? V

  • calcul de l'espace h1

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Publié le : mardi 19 juin 2012
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Source : univ-valenciennes.fr
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DÉFORMATIONS DE RÉSEAUX DANS CERTAINS GROUPES RÉSOLUBLES
CÉDRIC ROUSSEAU Abstract. We aim to study local rigidity and deformations for the following class of groups: the semidirect product  = Z n o A Z where n  2 is an integer and A is a hyperbolic matrix in SL ( n, Z ) , considered first as a lattice in the solvable Lie group G = R n o A R , then as a subgroup of the semisimple Lie group SL ( n + 1 , R ) . We will notably show that, although  is locally rigid neither in G nor in H , it is locally SL ( n + 1 , R ) –rigid in G in the sense that every small enough deformation of  in G is conjugated to  by an element of SL ( n + 1 , R ) .
1. Introduction Soient  un groupe de type fini et G un groupe topologique. On désigne par R (  G ) l’ensemble des morphismes de groupes de  dans G muni de la topologie de la convergence ponctuelle i.e. la topologie induite par celle du produit G  (de sorte que deux morphismes de  dans G sont proches si, et seulement si, ils le sont sur un ensemble de générateurs de  ). Un morphisme de groupes r : G est dit localement rigide si tout autre morphisme de groupes r 0 : G suffisamment proche de r est conjugué à r , c’est-à-dire s’il existe un voisinage V de r dans R (  G ) tel que : r 0 V g G   r 0 ( ) = gr ( ) g  1 . Lorsque  est un sous-groupe de G , on dira que  est localement rigide dans G si l’injection canonique de  dans G est localement rigide. Cette notion de rigidité locale a été initialement étudiée dans le cas où G est un groupe de Lie semi-simple et  un réseau dans G . Sur ce point, le premier résultat important, obtenu d’abord partiellement par Calabi [1], Calabi-Vesentini [2] et Selberg [7], puis de manière complète par Weil [8], [9], est le suivant : Théorème I. Soit G un groupe de Lie semi-simple non localement isomorphe à SL (2 R ) . Si  est un réseau cocompact irréductible dans G alors  est localement rigide dans G . Pour plus de détails sur l’historique de ce théorème, le lecteur pourra consulter [4]. Peu après, Weil [10] fournit un critère de rigidité locale valide dans un cadre plus général. Tout morphisme  G définit une action du groupe  sur g via la représentation adjointe Ad G . L’algèbre g devient ainsi un  –module et on peut donc définir la cohomologie H  ( g ) de  (en tant que groupe discret) à coefficients dans g . Weil montre alors le : 2000 Mathematics Subject Classification. 22E25, 22E40. Key words and phrases. local rigidity, lattices in solvable Lie groups, group cohomology. 1
2 CÉDRIC ROUSSEAU Théorème II. Soit r R (  G )  est un groupe de type fini et G un groupe de Lie. Si H 1 ( g ) = 0 , le morphisme r est localement rigide. Dès lors ce critère motive la recherche de méthodes de calcul du groupe de cohomologie H 1 ( g ) censé mesurer le défaut de rigidité d’un réseau dans un groupe de Lie (voir notamment [5], [6]). Par exemple si  et G sont abéliens, l’action de  sur G est triviale et H 1 ( g ) = R n g n est le rang (de la partie libre) de  ; le cas nilpotent est aussi relativement facile à traiter. Par contre, à notre connaissance, il n’existe pas dans la littérature d’exemples de calculs explicites de cohomologie pour les réseaux dans les groupes de Lie résolubles non nilpotents. C’est l’objet de ce travail : on se propose d’étudier le cas non trivial des déformations du réseau obtenu comme produit semi-direct de Z agissant sur Z n (où n  2 ) à l’aide d’une matrice hyperbolique A SL ( n Z ) diagonalisable et à valeurs propres réelles strictement positives. Si A = P DP  1 , on peut définir pour tout réel t la puissance A t en posant A t = P D t P  1 , où D t est la matrice diagonale des valeurs propres élevées à la puissance t et ainsi construire le produit semi-direct G = R n o A R dans lequel la multiplication s’écrit : ( U x ) ( V y ) = ( U + A x V x + y ) . Le groupe G , muni de sa structure canonique de groupe de Lie, est résoluble et  = Z n o A Z est un réseau cocompact dans G . Nous établirons dans un premier temps le résultat suivant : Théorème. Si A admet k valeurs propres distinctes de multiplicités respectives k 2 m 1  . . .  m k , alors l’espace H 1 ( g ) est de dimension P j =1 m j  1 . Ce résultat, à lui-seul, ne permet pas d’affirmer que le réseau  n’est pas locale-ment rigide dans G , mais laisse présumer qu’il en est ainsi. À ce niveau, à défaut de rigidité locale ou de non-rigidité locale clairement établie, on peut néanmoins se poser la question d’une rigidité locale relative au sens suivant : Définition. Soient  un groupe de type fini, H un groupe topologique et G un sous-groupe de H . Un morphisme r : G sera dit localement H –rigide si tout morphisme r 0 : G suffisamment proche de r est conjugué à r par un élément de H , c’est-à-dire s’il existe un voisinage V de r dans R (  G ) tel que :  1 r 0 V h H   r 0 ( ) = hr ( ) h . Si  est un sous-groupe de G , on dira que  est localement H –rigide dans G si l’injection canonique de  dans G est localement H –rigide. Notre groupe G = R n o A R et son réseau  = Z n o A Z peuvent être considérés comme sous-groupes de H = SL ( n +1 R ) (d’algèbre de Lie h , ensemble des matrices carrées réelles de dimension n + 1 et de trace nulle) au moyen du plongement u : ( U x ) 7→ A 0 x U 1 . On peut naturellement s’interroger sur l’éventuelle rigidité locale de  dans H . On remarquera que H est un groupe de Lie semi-simple, mais dans lequel  n’est pas un réseau, et donc que cette situation ne remplit pas les hypothèses du théorème I. Par ailleurs, le calcul de l’espace H 1 ( h ) dans le but de pouvoir éventuelle-ment appliquer le théorème II semble particulièrement difficile. Nous montrerons néanmoins que :
DÉFORMATIONS DE RÉSEAUX DANS CERTAINS GROUPES RÉSOLUBLES 3 Théorème. L’application linéaire H 1 ( g ) H 1 ( h ) induite par l’injection G , H est nulle. Ceci laisse penser que  est localement H –rigide dans G . En passant par la déter-mination directe des déformations de  dans G relativement à H , nous montrerons que c’est effectivement le cas. Plus précisément : Théorème. Étant donnée une déformation  ( ε ) de  dans G (voir propositions 11 et 12 pour les notations) il existe un unique élément K de H tel que  ( ε ) = K  K  1 , à savoir : 1 K = P I ( 0 ε ) P  1  ( A  I )   1 P in =1  i U i  = det I ( ε )  n +1 Ce résultat et sa preuve nous permettront d’ailleurs d’affirmer non seulement que, comme on pouvait le supposer,  n’est pas localement rigide dans G (corollaire 14), mais que de plus  n’est pas localement rigide dans H (proposition 15). 2. Calcul de l’espace H 1 ( g ) 2.1. Cohomologie des groupes : quelques rappels. Avant toute chose, rap-pelons rapidement que pour calculer la cohomologie d’un  –module V (  groupe quelconque fixé) de manière effective (voir par exemple [3], pages 1 à 22) on peut la considérer en tant que cohomologie du complexe des cochaînes inhomogènes : d 0 V  d C 1 (  V ) C 2 (  V )  d →    k où, pour tout k  0 , C k (  V ) est l’ensemble des applications de  dans V (en faisant l’identification C 0 (  V ) = V ), et la différentielle d s’écrit (on se contentera ici des degrés  1 ) : dv ( ) = .v  v pour tous v V et  dF (   0 ) = .F ( 0 )  F ( 0 ) + F ( ) pour tous F C 1 (  V ) et   0  . Les 1–cocycles à valeurs dans V sont ainsi les applications F : V vérifiant : F ( 0 ) = F ( ) + .F ( 0 ) pour tous 0  .   Identifions  à sa représentation dans GL ( V ) ; on montre que : Proposition 1. Si  = <  > est isomorphe à Z alors H n ( KCeork( er(  I  d V Id) V ) ssii nn ==01  E ) ' 0 si n  2 . 2.2. La représentation adjointe de G et les champs invariants. Revenons maintenant à la situation qui nous intéresse :  = Z n o A Z réseau dans G = R n o A R agissant sur l’algèbre de Lie g au moyen de la représentation adjointe de G . Tâchons de décrire cette action et dans un premier temps d’en déterminer les invariants. Pour tout h G , Ad G ( h ) est l’application induite sur g , espace canoniquement isomorphe à l’espace tangent T 0 G (l’élément neutre de G étant noté 0), par la

4 CÉDRIC ROUSSEAU dérivée de l’automorphisme intérieur  h : g 7→ hgh  1 . Aussi, pour tous h = ( U x ) et g = ( V y ) dans G , on a: h ( g ) = ( U x )( V y )( U x )  1 = ( U + A x V x + y )(  A  x U  x ) = ( U + A x V  A y U y ) . La structure de variété de G peut être définie par la seule carte de G dans R n +1 : (( x 1  . . .  x n )  x n +1 ) 7 → ( x 1  . . .  x n  x n +1 ) . Dans les repères naturels des espaces tangents T g G et T  h ( g ) G , la différentielle d g  h est représentée par la matrice par blocs : d g  h = A 0 x  ddA 1 y y U . y De A y = P D y P  1 , on tire ddA = P D y (ln D ) P  1 , où: y D y =  1 y ...  ny et ln D = ln  1 ... ln  n . D’où d g  h A 0 x  P D y (ln1 D ) P  1 U = et en l’élément neutre 0 de G : d 0  h = A 0 x  P (ln D 1) P  1 U . Considérons les champs de vecteurs tangents X 1  . . .  X n  X n +1 sur G définis par : X 1 = D x n 0 +1 t P 01 ∂/∂ . x 1 (1) XX n . n +1 //xx nn +1 . Si P = ( p ij ) 1  i,j  n , ces champs prennent en g = (( x 1  . . .  x n )  . . .  x n +1 ) la valeur : X in ( g ) i 1  i  n ; X n ( + g 1 )( g =)  = i x n + x 1 n + 1 p ( 1 i g ) .x 1 ( g ) +    + p ni x s On vérifie aisément que ces champs forment une base de l’algèbre de Lie g de G et que de plus, pour tout i ∈ { 1  . . .  n } , on a : [ X  X j ] = ( 0 si 1  j  n ; i  (ln  i ) X i si j = n + 1 .
DÉFORMATIONS DE RÉSEAUX DANS CERTAINS GROUPES RÉSOLUBLES 5 On travaillera par la suite exclusivement dans cette base, dans laquelle d 0  h , c’est-à-dire Ad G ( h ) , a pour matrice: Ad G ( h ) = P  0 1 01   A 0 x  P (ln D 1) P  1 U   P 010 D x = 0  (ln D 1) P  1 U . On remarquera que, en tant que sous-groupes de  , d’une part Z agit trivialement sur R X n +1 , et d’autre part Z n agit trivialement sur g 0 = L in =1 R X i . On établit ainsi de manière immédiate la proposition suivante : Proposition 2. (i) H 0 ( Z n g ) = g 0 ' R n ; (ii) H 0 ( Z g ) = R X n +1 ' R ; (iii) H 0 ( g ) = 0 . 2.3. Les espaces H 1 ( Z n g ) , H 1 ( Z g ) et H 1 ( g ) . Toujours considérés comme sous-groupes de  , Z n et Z agissent sur g . Déterminer leur cohomologie à valeurs dans g , et plus précisément la forme des 1–cocycles pour ces actions, nous sera utile pour calculer H 1 ( g ) . Pour toute 1–cochaîne inhomogène F : Z n g et tout U Z n , on pose : F ( U ) = w n W + F 1 , ( F U () U ) W F ( U ) = w 1 ,F ( U ) n  w n,F . ( U ) R . Notons M ( n R ) l’espace des matrices carrées réelles de dimension n . Proposition 3. (i) Les 1–cocycles F : Z n g sont les applications de la forme : F ( U ) = M F 0 U M F M ( n R ) .
(ii) Un 1–cocycle F : Z n g est exact si, et seulement si, il existe w R tel que : U Z n  F ( U ) =  w (ln D ) P  1 U . 0 (iii) L’espace H 1 ( Z n g ) est de dimension n 2 1 .  Preuve. (i) Soient F : Z n g un 1–cocycle et ( c j ) 1  j  n le sytème canonique de générateurs de Z n . De l’égalité F ( c i + c j ) = F ( c j + c i ) pour tous i j ∈ { 1  . . .  n } , on tire : F ( c i ) + ( c i 0) .F ( c j ) = F ( c j ) + ( c j 0) .F ( c i )
CÉDRIC ROUSSEAU
6 et donc : ( c j 0) .F ( c i )  F ( c i ) = ( c i 0) .F ( c j )  F ( c j ) ce qui s’écrit matriciellement : 00  (ln D 0) P  1 c j   w n W + F 1 , ( F c i () c i ) = 00  (ln D 0) P  1 c i   w n W + F 1 , ( F c j ( c ) j ) . D’où w n +1 ,F ( c i ) c j = w n +1 ,F ( c j ) c i et comme c i et c j sont linéairement indépendants dans R n lorsque i 6 = j , w n +1 ,F ( c i ) = 0 pour tout i ∈ { 1  . . .  n } . Soit J la projection de g sur g 0 ; comme Z n agit trivialement sur g 0 , J  F est un morphisme de groupes de Z n dans g 0 , donc est de la forme ( J  F )( U ) = M F U , avec M F M ( n R ) . Ainsi F est nécessairement de la forme : F ( U ) = M 0 F U . Réciproquement, toute application F : Z n g de cette forme est un 1–cocycle car alors : F ( U + V ) = M F ( U 0+ V ) = M 0 F U + M F 0 V = M 0 F U + ( U 0) . M F 0 V = F ( U ) + ( U 0) .F ( V ) . (ii) Les 1–cobords F : Z n g s’écrivent : F ( U ) = ( U 0) .X  X X g . Si X = Ww , alors F ( U ) = 00  (ln D 0) P  1 U   Ww =  w (ln D ) P  1 U 0 . (iii) découle immédiatement de (i) et (ii). Pour ce qui est de l’action de Z , on a la proposition qui suit : Proposition 4. (i) Les 1–cocycles F : Z g sont les applications de la forme : F ( s ) = ( D s  I )( sDx F  (1 I ))  1 X F (1) X F (1) R n  x F (1) R . (ii) L’espace H 1 ( Z g ) est de dimension 1.
DÉFORMATIONS DE RÉSEAUX DANS CERTAINS GROUPES RÉSOLUBLES 7 Preuve. (i) De manière générale (voir par exemple [3], page 21’), on connaît la forme des 1–cocycles dans un Z –module ; ainsi on peut voir que dans notre situation les 1–cocycles F : Z g s’écrivent : s  1 F ( s ) = X F ( s ) X (0  k ) .F (1) si s  0 x s = k =0  1 F ( )  k X = s (0  k ) .F (1) si s  0 . Donc ici : F ( s ) = sk  X =10 sDx kF ( X 1 F )(1) si s  0 et F ( s ) =  k  = X 1 s s xD Fk (1 X ) F (1) si s  0 . Aussi, pour tout entier s  0 : D s  I = P sk  =10 D k ( D  I ) , et D  s  I =  D  s ( D s  I ) D  s  sk  X =10 D k ! ( D  I ) =   k  = X  1 s D k ! ( D  I )  = d’où la forme annoncée pour F ( s ) . (ii) Soit  = (0 1) le générateur de Z dans  . On sait que ( cf. proposition 1) : H 1 ( Z g ) ' Coker(Ad G (  )  Id g ) espace vectoriel clairement de dimension 1 étant donné que Ad G (  )  Id g a pour matrice : D  0 I 00 . Ces deux dernières propositions nous permettent de décrire les 1–cocycles de  dans g : Proposition 5. Les 1–cocycles F : 7→ g sont les applications de la forme : F ( U s ) = M F U + ( D s  I )0( D  I )  1 X F (1) X F (1) R n et M F M ( n R ) est telle que M F A = DM F . Preuve. Soit F : 7→ g un 1–cocycle. Les restrictions F | Z n et F | Z sont alors des 1–cocycles respectivement de Z n et Z à valeurs dans g et qui s’écrivent donc : F | Z n ( U ) = M F 0 U et F | Z ( s ) = ( D s  I )( sDx F  (1 I ))  1 X F (1) M F M ( n R ) , X F (1) R n et x F (1) R . Aussi, pour tout ( U s )  : (2) F ( U s ) = F (( U 0)(0  s )) = F | Z n ( U ) + ( U 0) .F | Z ( s ) = F ((0  s )( A  s U 0)) = F | Z ( s ) + (0  s ) .F | Z n ( A  s U ) . D’où l’égalité ( U 0) .F | Z ( s )  F | Z ( s ) = (0  s ) .F | Z n ( A  s U )  F | Z n ( U )
8 CÉDRIC ROUSSEAU ce qui, pour s = 1 , donne : 00  (ln D 0) P  1 U   xX FF ((11)) = 0 D 10   M F A 0  1 U  M F 0 U et donc :  x F (1)(ln D ) P  1 U = ( DM F A  1  M F ) U = ( DM F P D  1  M F P ) P  1 U. Ceci étant pour tout U Z n , en posant N F = M F P = ( n ij ) 1  i,j  n on a : DN F D  1  N F =  x F (1) ln D. Or cette dernière égalité signifie que, pour tous i j ∈ { 1  . . .  n } , (3) (  i   j 1  1) n ij =  x F (1)  ij ln  i  ij est le symbole de Kronecker, ce qui lorsque i = j force x F (1) à être nul, si bien que DN F D  1 = N F . Ainsi DM F P = M F P D , ou encore : (4) DM F = M F P DP  1 = M F A. Finalement, suivant (2), F est de la forme : F ( U s ) = M F U + ( D s  I )0( D  I )  1 X F (1) . Réciproquement, on montre sans peine que toute application F : g de cette forme avec la condition (4) est un 1–cocycle. Proposition 6. Les 1–cobords F : 7→ g sont de la forme : n D ) P  1 U + ( D s  I ) W F ( U s ) =  w (l0 W R n  w R . Preuve. Les 1–cobords F : g sont les applications qui s’écrivent : F ( U s ) = ( U s ) .X  X X g . Si X = Ww alors F ( U s ) = D s 0  I  (ln D 0) P  1 U   Ww =  w (ln D ) P  1 U 0+( D s  I ) W . Nous sommes dès lors en mesure de déterminer la dimension de l’espace H 1 ( g ) : Théorème 7. Si A admet k valeurs propres distinctes ( k  n ) et si m 1  . . .  m k sont leurs multiplicités respectives, alors : k dim H 1 ( g ) = X m i 2  1 . i =1 Preuve. La relation (3) qui, en définitive, s’écrit : i j ∈ { 1  ... n } (  i  j  1  1) n ij = 0 montre que l’ensemble M A des matrices N F telles que N F D = DN F est le sous-espace de M ( n R ) engendré par l’ensemble des matrices élémentaires E ij telles que
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